Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!

Wersja z 2014-03-24

Procenty i stężenia

Wzrost procentowy lub obniżka procentowa

Jeśli liczba k wzrasta o p procent, to aby obliczyć powstałą wartość w musimy liczbę k przemnożyć przez p% i dodać do początkowej wartości k. Zatem w = k + k·p%. Typowy wypadek to podwyżka ceny jakiegoś towaru o pewien procent. Na przykład jeśli towar kosztował 60 zł, i cenę podniesiono o 20%, to obecnie kosztuje 60 + 60·20% = 60 + 1200% = 60 + 12 = 72 zł. Zauważmy, że znak procenta skraca się z dwoma zerami.

Obliczenie można uprościć. Zamiast wykonywać mnożenie i dodawanie, można przemnożyć k przez liczbę 1 + p%, czyli obliczyć w = k(1 + p%). Aby wykonać to dodawanie, trzeba albo procent zamienić na ułamek, albo zamiast 1 wprowadzić 100% – wówczas w = k·(100 + p)%. W podanym przykładzie mamy więc 60 · (1 + 20%) = 60 · (1 + 0,2) = 60 · 1,2 = 72. Alternatywnie: 60 · (1 + 20%) = 60 · (100% + 20%) = 60 · 120% = 6 · 12 = 72.

Analogicznie obliczamy obniżkę wartości o podaną liczbę procent. Jedyna różnicą jest użycie znaku minus w obliczeniach: w = k(1 − p%). Obniżkę wartości 60 o 20% obliczymy zatem na jeden z trzech sposobów:

Niektóre kalkulatory (np. Casio HS-8G) obliczają wzrost procentowy w taki oto sposób: 60×20%+ (bez przyciskania klawisza „=”), a obniżkę w taki sposób: 60×20%− (także bez przyciskania znaku równości).

11. Oblicz nową wartość liczby, jeśli: (a) 3 zwiększono o 50%, (b) 120 zwiększono o 5%, (c) 3620 zwiększono o 15%, (d) 1500 zwiększono o 12%.

12. Oblicz nową wartość liczby, jeśli: (a) 3 zmniejszono o 50%, (b) 250 zmniejszono o 10%, (c) 4750 zmniejszono o 4%, (d) 1500 zmniejszono o 3%.

Procent podwyżki lub obniżki

Niekiedy zachodzi konieczność obliczenia, o jaki procent podniesiono lub obniżono jakąś wartość. W tym celu obliczamy różnicę wartości końcowej w i początkowej k i dzielimy ją przez wartość początkową k. Całość wyrażamy w procentach, a zatem mnożymy wynik dzielenia przez 100% (co oznacza mnożenie przez 1): p% = (wk)/k · 100%. Uwaga: ilość procent podwyżki lub obniżki nazywamy też punktami procentowymi. O punktach procentowych będziemy jeszcze mówić niżej.

Obliczmy na przykład, o jaki procent podniesiono cenę towaru, jeśli przed podwyżką wynosiła 120 zł, a po podwyżce 141 zł. Obliczenie wygląda tak: (141 − 120)/120 = 21/120 = 7/40 · 100% = 700/40 %= 35/2 % = 17,5%.

Analogicznie oblicza się procent obniżki, przy czym wówczas otrzymujemy jako wynik wartość ujemną. Obliczmy, o ile procent obniżono cenę z 225 zł do 198 zł. Zgodnie z podanym schematem robimy to tak: (198 − 225)/225 = −27/225 = −3/25 · 100% = −3 · 4% = −12%. Obniżka wyniosła więc 12%.

Kalkulator Casio HS-8G oblicza procent podwyżki w taki sposób: 141−120% (bez znaku „=”). Obniżka obliczana jest tak samo, wynik wychodzi ujemny, np. 198−225% (bez przyciskania klawisza „=”).

13. Oblicz, jaki był procent podwyżki, jeśli wartość podniesiono: (a) z 15 do 20, (b) z 70 do 91, (c) z 12 do 15, (d) z 3,40 do 3,91.

14. Oblicz, jaki był procent obniżki, jeśli wartość obniżono: (a) z 20 do 15, (b) z 84 do 73,92, (c) z 13,50 do 12, (d) z 4200 do 3906.

Wartość przed podwyżką lub obniżką

Rozwiążmy następujące zadanie. Pewien towar kosztuje 63 zł. Ostatnio jego cenę podniesiono o 5%. Ile kosztował przed podwyżką? Jeśli początkowa cena towaru wynosiła k, to po pięcioprocentowej podwyżce wynosi k + 5%·k czyli (1 + 5%)k. Wiemy jednak, że wyrażenie to równe jest 63. Aby obliczyć cenę początkową k, musimy podzielić 63 przez 1 + 5% czyli przez 105%: daje nam to 63/105% = 63·100% / 105% = 6300/105 = 2100/35 = 300/5 = 60. Przed podwyżką cena wynosiła 60 zł. Zatem k = w /(1 + p%).

Gdyby cenę obniżono, w schemacie rozwiązania pojawi się znak minus. Powiedzmy, że towar kosztuje obecnie 68 zł, i że obniżono ostatnio jego cenę o 15%. Cena po podwyżce może być więc wyrażona jako k − 15%·k, albo jako (1 − 15%)k, co wreszcie daje k·85%. Aby policzyć cenę początkową, musimy więc podzielić 68 przez 1 − 15%, co daje 68/85% = 6800/85 = 1360/17 = 80. Przed podwyżką cena wynosiła 80 zł. Zatem tutaj k = w /(1 − p%).

Kalkulator Casio HS-8G oblicza wartość przed podwyżką według nie do końca intuicyjnego wzorca 63+5±% (gdzie ± jest klawiszem zmiany znaku), natomiast wartość przed obniżką według wzorca 68+15%.

15. Oblicz wartość przed podwyżką, jeśli podniesiono ją: (a) o 4% do 130, (b) o 24% do 620, (c) o 2% do 51, (d) o 5% do 39,90.

16. Oblicz wartość przed obniżką, jeśli obniżono ją: (a) o 25% do 753, (b) o 12% do 330, (c) o 16% do 50,40, (d) o 8% do 552.

Wielkość podwyżki lub obniżki

Czasem znamy wartość obecną w i procent p, o jaki podniesiono lub obniżono wartość pierwotną k, a interesuje nas różnica wartości nowej i starej, czyli wielkość podwyżki lub obniżki n wyrażona w liczbach, nie w procentach. Innymi słowy, chcemy wiedzieć, jakiej wartości liczbowej n odpowiada znany procent p podwyżki lub obniżki.

Na przykład niech cena towaru po podwyżce wynosi 60 zł, wiadomo też, że poprzednią cenę podniesiono o 20%. Interesuje nas, ile złotych drożej musimy obecnie zapłacić. Jeśli starą cenę oznaczymy przez k, wówczas wielkość podwyżki n = k · 20%. Wiemy też, że nowa cena w = 60 = k + k · 20%, czyli 60 = (1 + 20%)k. Stąd k = 60 / (1 + 20%), i w konsekwencji szukana wartość n = (60 · 20%)/(1 + 20%). W naszym wypadku otrzymamy n = 1200%/120% = 10. Tę samą wartość uzyskamy, jeśli obliczymy cenę przed podwyżką k = 60/(1 + 20%) i odejmiemy ją od ceny obecnej: n = 60 − k. Rzeczywiście, mamy n = 60 − 60/120% = 60 − 6000%/120% = 60 − 600/12 = 60 − 50 = 10. Ogólnie zapiszemy n = w·p% /(1 + p%) albo n = w − 100w /p.

Powiedzmy teraz, że pewien towar przeceniono o 10% i obecnie kosztuje on 81 zł. Kwotę przeceny n obliczymy jako 10%·k, czyli 10 procent starej ceny. Starą cenę natomiast wyrazimy jako k = 81/(1 − 10%). Ostatecznie n = (81 · 10%)/(1 − 10%), czyli n = 810%/90% = 81/9 = 9 (zatem cenę towaru zmniejszono o 9 zł). Ten sam wynik uzyskamy, odejmując nową cenę od starej: n = k − 81, zatem n = 81/(1 − 10%) − 81 = 81/90% − 81 = 8100%/90% − 81 = 810/9 − 81 = 90 − 81 = 9. Ogólnie zapiszemy n = w·p% /(1 − p%) albo n = 100w /p − w.

Kalkulator Casio HS-8G oblicza kwotową wielkość podwyżki następująco: 60+20±%−± (klawisz zmiany znaku na końcu jest konieczny, bo wynik poprzednich rachunków wychodzi ujemny). Wartość kwotową obniżki oblicza się prościej, według schematu 81+10%− (jak zwykle, nie używamy klawisza „=”).

17. O ile wzrosła wartość, jeśli obecnie równa jest: (a) 300, a wzrost wynosił 20%, (b) 7, a wzrost wynosił 40%, (c) 10,1, a wzrost wynosił 1%, (d) 750, a wzrost wynosił 25%?

18. O ile zmalała wartość, jeśli obecnie równa jest: (a) 32, a spadek wynosił 20%, (b) 7, a spadek wynosił 12,5%, (c) 11,64, a spadek wynosił 3%, (d) 2850, a spadek wynosił 5%?

Dwukrotna operacja na wartości

Niekiedy wyjściowa wartość k ulega dwóm operacjom podwyżki lub obniżki. Wartość końcową w otrzymamy wówczas, stosując dwukrotnie wzór na wzrost lub obniżkę procentową, albo od razu mnożąc k dwukrotnie przez wyrażenia typu 1 ± p%.

Chcemy wiedzieć, jak zmieni się cena towaru wartego 100 zł, jeśli podniesiemy ją o 10%, a następnie obniżymy o 10%. Nieprawda, że cena nie ulegnie zmianie – procenty zawsze obliczamy względem ceny aktualnej, a ta przecież zmieni się po pierwszej operacji. Dlatego pierwsze i drugie 10% nie oznacza wcale takiej samej kwoty! Policzmy zatem: w = k(1 + 10%)(1 − 10%) = 100 · 1,1 · 0,9 = 99.

Zauważmy, że niczego nie zmieni zmiana kolejności operacji. Jeśli cenę najpierw obniżymy o 10%, wyniesie ona 100 − 100·10% = 100 − 10 = 90. Jeśli teraz podniesiemy ją o 10%, wyniesie ona 90 + 90·10% = 90 + 9 = 99, a zatem dokładnie tyle samo, ile w przykładzie poprzednim.

W obliczeniach tego rodzaju należy zawsze przeliczać procenty na liczby. Jeśli np. 5 podniesiono o 20%, a następnie jeszcze o 10%, możemy zapisać działanie jako 5 · 120% · 110%, ale nie wykonujemy mnożenia, tylko zamieniamy procenty na ułamki dziesiętne. W przeciwnym wypadku pozostałyby nam dwa symbole procenta – taki zapis jest niedozwolony! Piszemy więc 5 · 120% · 110% = 5 · 1,2 · 1,1 = 6 · 1,1 = 6,6.

19. Oblicz obecną wartość, jeśli: (a) 10 powiększono o 2%, a następnie o 10%, (b) 118 powiększono o 25%, a następnie pomniejszono o 40%, (c) 58 pomniejszono o 20%, a następnie powiększono o 25%, (d) 1760 obniżono o 20%, a następnie jeszcze o 25%.

Procenty i punkty procentowe

Jeśli dokonujemy równoległych operacji na tej samej wartości bazowej, zamiast o procentach mówimy często o punktach procentowych. Pojęcie procentu odnosi się wówczas do różnicy między tymi dwiema operacjami.

Wyjaśnijmy to na przykładzie. Otóż stosując starą technologię z pewnej rudy udawało się uzyskiwać 36% czystego metalu. Wprowadzenie nowej metody pozwoliło podnieść wydajność do 54%. O ile wzrosła efektywność technologii wydobycia tego metalu z rudy?

Jeśli odejmiemy podane wartości wydajności, uzyskamy różnicę w punktach procentowych. Skoro 54 − 36 = 18, zatem możemy powiedzieć, że wydajność wzrosła o 18 punktów procentowych.

Możemy jednak także wyrazić wzrost wydajności w procentach. Potraktujmy 54 jako nową wartość, a 36 jako starą. Zgodnie z podanymi wyżej informacjami, wzrost wydajności wynosił (54 − 36)/36 = 18/36 = 1/2 · 100% = 50%. Innymi słowy, w tym wypadku 18 punktów procentowych stanowi 50%.

Uwaga: w liczniku ułamka ma się znaleźć różnica obu wartości. W mianowniku natomiast wstawiamy zawsze tę wartość, z którą porównujemy. W zadaniu szukamy sformułowań typu „od”, „w porównaniu z”, i właśnie następującą po nich wartość dajemy do mianownika. W omawianym przykładzie wydajność wzrosła o 50% w porównaniu ze starą. Możemy jednak też policzyć, o ile procent gorsza była wydajność starej technologii od wydajności nowej technologii: (54 − 36)/54. W mianowniku wstawiamy wydajność nowej technologii, bo to o niej mowa po słowie „od”. Oczywiście szukany procent to 18/54 · 100% = 33,(3)%.

20. O ile punktów procentowych i o ile procent: (a) spadło poparcie dla partii, która w poprzednich wyborach wynosiło 7%, a w obecnych 0%, (b) wzrosło stężenie, gdy pięcioprocentowy roztwór zatężyliśmy do 12%, (c) wzrosła pensja Janka, który przed podwyżką zarabiał 80% tego, co Tomek, a obecnie zarabia 90%, (d) zmieniło się zapełnienie autobusu mającego 40 miejsc, jeśli przed dojechaniem do przystanku podróżowało 16 pasażerów, a na przystanku 5 pasażerów wysiadło, a 19 wsiadło, (e) wzrosła ilość uczniów posiadających telefon komórkowy, jeśli w 2010 roku było ich 40%, a w roku 2012 było ich 75% ogólnej liczby uczniów?


Odpowiedzi

11. (a) 3 · (1 + 50%) = 3 · 150% = 3 · 1,5 = 4,5, (b) 120 · (1 + 5%) = 120 · 1,05 = 126, (c) 3620 · (1 + 15%) = 3620 · 1,15 = 4163, (d) 1500 · (1 + 12%) = 1500 · 1,12 = 1680.

12. (a) 3 · (1 − 50%) = 3 · 0,5 = 1,5, (b) 250 · (1 − 10%) = 250 · 0,9 = 25 · 9 = 225, (c) 4750 · (1 − 4%) = 4750 · 96% = 4750 · 0,96 = 4560, (d) 1500 · (1 − 3%) = 1500 · 97% = 1455.

13. (a) (20 − 15)/15 = 5/15 = 1/3 · 100% = 33,(3)%, (b) (91 − 70)/70 = 21/70 = 3/10 · 100% = 300/10 % = 30%, (c) (15 − 12)/12 = 3/12 = 1/4 · 100% = 25%, (d) (3,91 − 3,4)/3,4 = 0,51/3,4 = 51/3,4 % = 510/34 % = 30/2 % = 15%; uwaga: nie piszemy końcowych zer, a zamiast mnożyć przez 100% przesuwamy przecinek w liczniku o dwa miejsca i dopisujemy znak „%”.

14. (a) (15 − 20)/20 = −5/20 = −1/4 · 100% = −25%, (b) (73,92 − 84)/84 = −10,08/84 = −1008/84% = −504/42 % = −252/21 % = −36/3 % = −12%, (c) (12 − 13,5)/13,5 = −1,5/13,5 = −3/27 · 100% = −300/27 % = −100/9 % = −11,(1)%, (d) (3906 − 4200)/4200 = −294/4200 = −147/2100 = −21/300 · 100% = −7%.

15. (a) 130/(1 + 4%) = 130/104% = 13000%/104% = 6500/52 = 3250/26 = 1625/13 = 125, (b) 620/(1 + 24%) = 62000/124 = 31000/62 = 15500/31 = 50, (c) 51/(1 + 2%) = 5100/102 = 1700/34 = 100/2 = 50, (d) 39,9/(1 + 5%) = 3990/105 = 798/21 = 266/7 = 38.

16. (a) 753/(1 − 25%) = 75300/75 = 25100/25 = 1004, (b) 330/(1 − 12%) = 33000/88 = 3000/8 = 1500/4 = 750/2 = 375, (c) 50,4/(1 − 16%) = 5040/84 = 2520/42 = 1260/21 = 420/7 = 60, (d) 552/(1 − 8%) = 55200/92 = 27600/46 = 13800/23 = 600.

17. (a) 300·20%/(1 + 20%) = 6000%/120% = 100/2 = 50, (b) 7·40%/140% = 28/14 = 2, (c) 10,1·1%/101% = 0,1, (d) 750·25%/125% = 750/5 = 150.

18. (a) 32·20%/(1 − 20%) = 640%/80% = 64/8 = 8, (b) 7·12,5%/(1 − 12,5%) = 7·12,5%/87,5% = 1, (c) 11,64·3%/(1 − 3%) = 11,64·3%/97% = 0,12·3 = 0,36, (d) 2850·5%/(1 − 5%) = 2850·5%/95% = 2850/19 = 150.

19. (a) 10·102%·110% = 10·1,02·1,1 = 11,22, (b) 118·125%·60% = 118·1,25·0,6 = 88,5, (c) 58·80%·125% = 58·0,8·1,25 = 58 (wartość nie zmieni się), (d) 1760·80%·75% = 1760·0,8·0,75 = 1056.

20. (a) Poparcie spadło o 7 − 0 = 7, zatem o 7 punktów procentowych. Oznacza to, że spadło o (7 − 0)/7 = 7/7 = 1 · 100% = 100%, zatem o 100%. Istotnie, spadek o 100% oznacza brak poparcia. (b) Wzrost stężenia nastąpił o 12 − 5 = 7 punktów procentowych, co daje w tym wypadku (12 − 5)/5 · 100% = 700/5 % = 140%. (c) Pensja Janka wzrosła o 90 − 80 = 10 punktów procentowych w porównaniu z pensją Tomka. Oznacza to przyrost o (90 − 80)/80 · 100% = 1000/80 % = 25/2 % = 12,5%, (d) Zapełnienie autobusu przed dojechaniem do przystanku wynosiło 16/40 · 100% = 400/10 % = 40%. Liczba pasażerów na przystanku zmieniła się następująco: 16 − 5 + 19 = 11 + 19 = 30. Zapełnienie wyniosło wówczas 30/40 · 100% = 75% i wzrosło o 75 − 40 = 35 punktów procentowych. Oznacza to wzrost o (75 − 40)/40 = 35/40 = 7/8 · 100% = 87,5%. (e) Przyrost wynosił 70 − 40 = 30 punktów procentowych, co w tym wypadku oznacza (70 − 40)/40 = 30/40 = 3/4 · 100% = 75%.