Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!

Wersja z 2017-04-07

Procenty i stężenia

Wzrost procentowy lub obniżka procentowa

Jeśli liczba k wzrasta o p procent, to aby obliczyć powstałą wartość w musimy liczbę k przemnożyć przez p% i dodać do początkowej wartości k. Zatem w = k + k·p%. Typowy wypadek to podwyżka ceny jakiegoś towaru o pewien procent. Na przykład jeśli towar kosztował 60 zł, i cenę podniesiono o 20%, to obecnie kosztuje 60 + 60·20% = 60 + 1200% = 60 + 12 = 72 zł. Zauważmy, że znak procenta skraca się z dwoma zerami.

Obliczenie można uprościć. Zamiast wykonywać mnożenie i dodawanie, można przemnożyć k przez liczbę 1 + p%, czyli obliczyć w = k(1 + p%). Aby wykonać to dodawanie, trzeba albo procent zamienić na ułamek, albo zamiast 1 wprowadzić 100% – wówczas w = k·(100 + p)%. W podanym przykładzie mamy więc 60 · (1 + 20%) = 60 · (1 + 0,2) = 60 · 1,2 = 72. Alternatywnie: 60 · (1 + 20%) = 60 · (100% + 20%) = 60 · 120% = 6 · 12 = 72.

Jeszcze krócej: zamiast mnożyć 60 przez 20%, od razu wykonujemy mnożenie przez 120%, zatem: 60 · 120% = 6 · 12 = 72.

Analogicznie obliczamy obniżkę wartości o podaną liczbę procent (zwłaszcza przy przecenach lub przy obliczaniu cen biletów ulgowych). Jedyna różnicą jest użycie znaku minus w obliczeniach: w = k(1 − p%). Obniżkę wartości 60 o 20% obliczymy zatem na jeden z trzech sposobów:

Jeśli zmiana zachodzi o niewielki procent, warto zastosować pierwszą metodę, czyli obliczyć wartość podwyżki lub obniżki i odpowiednio dodać lub odjąć ją od kwoty pierwotnej. Jeśli natomiast podwyżka lub obniżka jest duża, lepiej zastosować metodę drugą lub trzecią.

Wybór metody pokażemy na przykładzie. Załóżmy, że podróż pociągiem na pewnej trasie wymaga uiszczenia opłaty 12 zł. Ile zapłaci za przejazd osoba: (a) korzystająca z okolicznościowej ulgi 3%, (b) korzystająca z ulgi 37%?

W przypadku (a) lepiej obliczyć kwotę ulgi: 12 · 3% = 0,36 (czyli 36 gr). Pasażer korzystający z okolicznościowego przejazdu zapłaci zatem 12 − 0,36 = 11,64 (czyli 11 zł 64 gr).

W przypadku (b) odejmiemy najpierw procent ulgi od 100: 100% − 37% = 63%. Cena biletu ulgowego wyniesie zatem 12 · 63% = 12 · 0.63 = 7,56 (czyli 7 zł 56 gr).

Niektóre kalkulatory (np. Casio HS-8G) obliczają wzrost procentowy w taki oto sposób: 60×20%+ (bez przyciskania klawisza „=”), a obniżkę w taki sposób: 60×20%− (także bez przyciskania znaku równości).

11. Oblicz nową wartość liczby, jeśli: (a) 3 zwiększono o 50%, (b) 120 zwiększono o 5%, (c) 3620 zwiększono o 15%, (d) 1500 zwiększono o 12%.

12. Oblicz nową wartość liczby, jeśli: (a) 3 zmniejszono o 50%, (b) 250 zmniejszono o 10%, (c) 4750 zmniejszono o 4%, (d) 1500 zmniejszono o 3%.

Procent podwyżki lub obniżki

Niekiedy zachodzi konieczność obliczenia, o jaki procent podniesiono lub obniżono jakąś wartość. W tym celu obliczamy różnicę wartości końcowej w i początkowej k i dzielimy ją przez wartość początkową k. Całość wyrażamy w procentach, a zatem mnożymy wynik dzielenia przez 100% (co oznacza mnożenie przez 1): p% = [(wk)/k] · 100%. Uwaga: ilość procent podwyżki lub obniżki nazywamy też punktami procentowymi. O punktach procentowych będziemy jeszcze mówić niżej.

Obliczmy na przykład, o jaki procent podniesiono cenę towaru, jeśli przed podwyżką wynosiła 120 zł, a po podwyżce 141 zł. Obliczenie wygląda tak: (141 − 120)/120 = 21/120 = 7/40 · 100% = 700/40 %= 35/2 % = 17,5%.

Analogicznie oblicza się procent obniżki, przy czym wówczas otrzymujemy jako wynik wartość ujemną. Obliczmy, o ile procent obniżono cenę z 225 zł do 198 zł. Zgodnie z podanym schematem robimy to tak: (198 − 225)/225 = −27/225 = −3/25 · 100% = −3 · 4% = −12%. Obniżka wyniosła więc 12%.

Podobne obliczenia wykonujemy, porównując np. ceny towaru w różnych sklepach albo prędkości jazdy różnymi środkami transportu. Zwróćmy uwagę, że ilość procent różnicy zależy od tego, którą wielkość traktujemy jako punkt odniesienia. Pokażemy to na przykładzie.

Piotr jedzie z prędkością 40 km/h, a Paweł z prędkością 50 km/h. (a) O ile procent prędkość Piotra jest mniejsza niż prędkość Pawła? (b) O ile procent prędkość Pawła jest większa niż prędkość Piotra?

Obliczmy: (a) (40 − 50)/50 = −10/50 = −20/100 = −20%, (b) (50 − 40)/40 = 10/40 = 1/4 = 25%. Prędkość Piotra jest mniejsza o 20% od prędkości Pawła. Prędkość Pawła jest większa o 25% od prędkości Piotra.

Kalkulator Casio HS-8G oblicza procent podwyżki w taki sposób: 141−120% (bez znaku „=”). Obniżka obliczana jest tak samo, wynik wychodzi ujemny, np. 198−225% (bez przyciskania klawisza „=”).

13. Oblicz, jaki był procent podwyżki, jeśli wartość podniesiono: (a) z 15 do 20, (b) z 70 do 91, (c) z 12 do 15, (d) z 3,40 do 3,91.

14. Oblicz, jaki był procent obniżki, jeśli wartość obniżono: (a) z 20 do 15, (b) z 84 do 73,92, (c) z 13,50 do 12, (d) z 4200 do 3906.

Wartość przed podwyżką lub obniżką

Rozwiążmy następujące zadanie. Pewien towar kosztuje 63 zł. Ostatnio jego cenę podniesiono o 5%. Ile kosztował przed podwyżką? Jeśli początkowa cena towaru wynosiła k, to po pięcioprocentowej podwyżce wynosi k + 5%·k czyli (1 + 5%)k. Wiemy jednak, że wyrażenie to równe jest 63. Aby obliczyć cenę początkową k, musimy podzielić 63 przez 1 + 5% czyli przez 105%: daje nam to 63/105% = 63·100% / 105% = 6300/105 = 2100/35 = 300/5 = 60. Przed podwyżką cena wynosiła 60 zł. Zatem k = w /(1 + p%).

Gdyby cenę obniżono, w schemacie rozwiązania pojawi się znak minus. Powiedzmy, że towar kosztuje obecnie 68 zł, i że obniżono ostatnio jego cenę o 15%. Cena po podwyżce może być więc wyrażona jako k − 15%·k, albo jako (1 − 15%)k, co wreszcie daje k·85%. Aby policzyć cenę początkową, musimy więc podzielić 68 przez 1 − 15%, co daje 68/85% = 6800/85 = 1360/17 = 80. Przed podwyżką cena wynosiła 80 zł. Zatem tutaj k = w /(1 − p%).

Kalkulator Casio HS-8G oblicza wartość przed podwyżką według nie do końca intuicyjnego wzorca 63+5±% (gdzie ± jest klawiszem zmiany znaku), natomiast wartość przed obniżką według wzorca 68+15%.

15. Oblicz wartość przed podwyżką, jeśli podniesiono ją: (a) o 4% do 130, (b) o 24% do 620, (c) o 2% do 51, (d) o 5% do 39,90.

16. Oblicz wartość przed obniżką, jeśli obniżono ją: (a) o 25% do 753, (b) o 12% do 330, (c) o 16% do 50,40, (d) o 8% do 552.

Wielkość podwyżki lub obniżki

Czasem znamy wartość obecną w i procent p, o jaki podniesiono lub obniżono wartość pierwotną k, a interesuje nas różnica wartości nowej i starej, czyli wielkość podwyżki lub obniżki n wyrażona w liczbach, nie w procentach. Innymi słowy, chcemy wiedzieć, jakiej wartości liczbowej n odpowiada znany procent p podwyżki lub obniżki.

Na przykład niech cena towaru po podwyżce wynosi 60 zł, wiadomo też, że poprzednią cenę podniesiono o 20%. Interesuje nas, ile złotych więcej musimy obecnie zapłacić. Jeśli starą cenę oznaczymy przez k, wówczas wielkość podwyżki n = k · 20%. Wiemy też, że nowa cena w = 60 = k + k · 20%, czyli 60 = (1 + 20%)k. Stąd k = 60 / (1 + 20%), i w konsekwencji szukana wartość n = (60 · 20%)/(1 + 20%). W naszym wypadku otrzymamy n = 1200%/120% = 10. Tę samą wartość uzyskamy, jeśli obliczymy cenę przed podwyżką k = 60/(1 + 20%) i odejmiemy ją od ceny obecnej: n = 60 − k. Rzeczywiście, mamy n = 60 − 60/120% = 60 − 6000%/120% = 60 − 600/12 = 60 − 50 = 10. Ogólnie zapiszemy n = w·p% /(1 + p%) albo n = w − 100w /p.

Powiedzmy teraz, że pewien towar przeceniono o 10% i obecnie kosztuje on 81 zł. Kwotę przeceny n obliczymy jako 10%·k, czyli 10 procent starej ceny. Starą cenę natomiast wyrazimy jako k = 81/(1 − 10%). Ostatecznie n = (81 · 10%)/(1 − 10%), czyli n = 810%/90% = 81/9 = 9 (zatem cenę towaru zmniejszono o 9 zł). Ten sam wynik uzyskamy, odejmując nową cenę od starej: n = k − 81, zatem n = 81/(1 − 10%) − 81 = 81/90% − 81 = 8100%/90% − 81 = 810/9 − 81 = 90 − 81 = 9. Ogólnie zapiszemy n = w·p% /(1 − p%) albo n = 100w /p − w.

Kalkulator Casio HS-8G oblicza kwotową wielkość podwyżki następująco: 60+20±%−± (klawisz zmiany znaku na końcu jest konieczny, bo wynik poprzednich rachunków wychodzi ujemny). Wartość kwotową obniżki oblicza się prościej, według schematu 81+10%− (jak zwykle, nie używamy klawisza „=”).

17. O ile wzrosła wartość, jeśli obecnie równa jest: (a) 300, a wzrost wynosił 20%, (b) 7, a wzrost wynosił 40%, (c) 10,1, a wzrost wynosił 1%, (d) 750, a wzrost wynosił 25%?

18. O ile zmalała wartość, jeśli obecnie równa jest: (a) 32, a spadek wynosił 20%, (b) 7, a spadek wynosił 12,5%, (c) 11,64, a spadek wynosił 3%, (d) 2850, a spadek wynosił 5%?

Dwukrotna operacja na wartości

Niekiedy wyjściowa wartość k ulega dwóm operacjom podwyżki lub obniżki. Wartość końcową w otrzymamy wówczas, stosując dwukrotnie wzór na wzrost lub obniżkę procentową, albo od razu mnożąc k dwukrotnie przez wyrażenia typu 1 ± p%.

Chcemy wiedzieć, jak zmieni się cena towaru wartego 100 zł, jeśli podniesiemy ją o 10%, a następnie obniżymy o 10%. Nieprawda, że cena nie ulegnie zmianie – procenty zawsze obliczamy względem ceny aktualnej, a ta przecież zmieni się po pierwszej operacji. Dlatego pierwsze i drugie 10% nie oznacza wcale takiej samej kwoty! Policzmy zatem: w = k(1 + 10%)(1 − 10%) = 100 · 1,1 · 0,9 = 99.

Zauważmy, że niczego nie zmieni zmiana kolejności operacji. Jeśli cenę najpierw obniżymy o 10%, wyniesie ona 100 − 100·10% = 100 − 10 = 90. Jeśli teraz podniesiemy ją o 10%, wyniesie ona 90 + 90·10% = 90 + 9 = 99, a zatem dokładnie tyle samo, ile w przykładzie poprzednim.

W obliczeniach tego rodzaju należy zawsze przeliczać procenty na liczby. Jeśli np. 5 podniesiono o 20%, a następnie jeszcze o 10%, możemy zapisać działanie jako 5 · 120% · 110%, ale nie wykonujemy mnożenia, tylko zamieniamy procenty na ułamki dziesiętne. W przeciwnym wypadku pozostałyby nam dwa symbole procenta – taki zapis jest niedozwolony! Piszemy więc 5 · 120% · 110% = 5 · 1,2 · 1,1 = 6 · 1,1 = 6,6.

19. Oblicz obecną wartość, jeśli: (a) 10 powiększono o 2%, a następnie o 10%, (b) 118 powiększono o 25%, a następnie pomniejszono o 40%, (c) 58 pomniejszono o 20%, a następnie powiększono o 25%, (d) 1760 obniżono o 20%, a następnie jeszcze o 25%.

Procenty i punkty procentowe

Jeśli dokonujemy równoległych operacji na tej samej wartości bazowej, zamiast o procentach mówimy często o punktach procentowych. Pojęcie procentu odnosi się wówczas do różnicy między tymi dwiema operacjami.

Wyjaśnijmy to na przykładzie. Otóż stosując starą technologię z pewnej rudy udawało się uzyskiwać 36% czystego metalu. Wprowadzenie nowej metody pozwoliło podnieść wydajność do 54%. O ile wzrosła efektywność technologii wydobycia tego metalu z rudy?

Jeśli odejmiemy podane wartości wydajności, uzyskamy różnicę w punktach procentowych. Skoro 54 − 36 = 18, zatem możemy powiedzieć, że wydajność wzrosła o 18 punktów procentowych.

Możemy jednak także wyrazić wzrost wydajności w procentach. Potraktujmy 54 jako nową wartość, a 36 jako starą. Zgodnie z podanymi wyżej informacjami, wzrost wydajności wynosił (54 − 36)/36 = 18/36 = 1/2 · 100% = 50%. Innymi słowy, w tym wypadku 18 punktów procentowych stanowi 50%.

Uwaga: w liczniku ułamka ma się znaleźć różnica obu wartości. W mianowniku natomiast wstawiamy zawsze tę wartość, z którą porównujemy. W zadaniu szukamy sformułowań typu „od”, „w porównaniu z”, i właśnie następującą po nich wartość dajemy do mianownika. W omawianym przykładzie wydajność wzrosła o 50% w porównaniu ze starą. Możemy jednak też policzyć, o ile procent gorsza była wydajność starej technologii od wydajności nowej technologii: (54 − 36)/54. W mianowniku wstawiamy wydajność nowej technologii, bo to o niej mowa po słowie „od”. Oczywiście szukany procent to 18/54 · 100% = 33,(3)%.

20. O ile punktów procentowych i o ile procent: (a) spadło poparcie dla partii, które w poprzednich wyborach wynosiło 7%, a w obecnych 0%, (b) wzrosło stężenie, gdy pięcioprocentowy roztwór zatężyliśmy do 12%, (c) wzrosła pensja Janka, który przed podwyżką zarabiał 80% tego, co Tomek, a obecnie zarabia 90%, (d) zmieniło się zapełnienie autobusu mającego 40 miejsc, jeśli przed dojechaniem do przystanku podróżowało 16 pasażerów, a na przystanku 5 pasażerów wysiadło, a 19 wsiadło, (e) wzrosła ilość uczniów posiadających telefon komórkowy, jeśli w 2010 roku było ich 40%, a w roku 2012 było ich 75% ogólnej liczby uczniów?


Odpowiedzi

11. (a) 3 · (1 + 50%) = 3 · 150% = 3 · 1,5 = 4,5, (b) 120 · (1 + 5%) = 120 · 1,05 = 126, (c) 3620 · (1 + 15%) = 3620 · 1,15 = 4163, (d) 1500 · (1 + 12%) = 1500 · 1,12 = 1680.

12. (a) 3 · (1 − 50%) = 3 · 0,5 = 1,5, (b) 250 · (1 − 10%) = 250 · 0,9 = 25 · 9 = 225, (c) 4750 · (1 − 4%) = 4750 · 96% = 4750 · 0,96 = 4560, (d) 1500 · (1 − 3%) = 1500 · 97% = 1455.

13. (a) (20 − 15)/15 = 5/15 = 1/3 · 100% = 33,(3)%, (b) (91 − 70)/70 = 21/70 = 3/10 · 100% = 300/10 % = 30%, (c) (15 − 12)/12 = 3/12 = 1/4 · 100% = 25%, (d) (3,91 − 3,4)/3,4 = 0,51/3,4 = 51/3,4 % = 510/34 % = 30/2 % = 15%; uwaga: nie piszemy końcowych zer, a zamiast mnożyć przez 100% przesuwamy przecinek w liczniku o dwa miejsca i dopisujemy znak „%”.

14. (a) (15 − 20)/20 = −5/20 = −1/4 · 100% = −25%, (b) (73,92 − 84)/84 = −10,08/84 = −1008/84% = −504/42 % = −252/21 % = −36/3 % = −12%, (c) (12 − 13,5)/13,5 = −1,5/13,5 = −3/27 · 100% = −300/27 % = −100/9 % = −11,(1)%, (d) (3906 − 4200)/4200 = −294/4200 = −147/2100 = −21/300 · 100% = −7%.

15. (a) 130/(1 + 4%) = 130/104% = 13000%/104% = 6500/52 = 3250/26 = 1625/13 = 125, (b) 620/(1 + 24%) = 62000/124 = 31000/62 = 15500/31 = 50, (c) 51/(1 + 2%) = 5100/102 = 1700/34 = 100/2 = 50, (d) 39,9/(1 + 5%) = 3990/105 = 798/21 = 266/7 = 38.

16. (a) 753/(1 − 25%) = 75300/75 = 25100/25 = 1004, (b) 330/(1 − 12%) = 33000/88 = 3000/8 = 1500/4 = 750/2 = 375, (c) 50,4/(1 − 16%) = 5040/84 = 2520/42 = 1260/21 = 420/7 = 60, (d) 552/(1 − 8%) = 55200/92 = 27600/46 = 13800/23 = 600.

17. (a) 300·20%/(1 + 20%) = 6000%/120% = 100/2 = 50, (b) 7·40%/140% = 28/14 = 2, (c) 10,1·1%/101% = 0,1, (d) 750·25%/125% = 750/5 = 150.

18. (a) 32·20%/(1 − 20%) = 640%/80% = 64/8 = 8, (b) 7·12,5%/(1 − 12,5%) = 7·12,5%/87,5% = 1, (c) 11,64·3%/(1 − 3%) = 11,64·3%/97% = 0,12·3 = 0,36, (d) 2850·5%/(1 − 5%) = 2850·5%/95% = 2850/19 = 150.

19. (a) 10·102%·110% = 10·1,02·1,1 = 11,22, (b) 118·125%·60% = 118·1,25·0,6 = 88,5, (c) 58·80%·125% = 58·0,8·1,25 = 58 (wartość nie zmieni się), (d) 1760·80%·75% = 1760·0,8·0,75 = 1056.

20. (a) Poparcie spadło o 7 − 0 = 7, zatem o 7 punktów procentowych. Oznacza to, że spadło o (7 − 0)/7 = 7/7 = 1 · 100% = 100%, zatem o 100%. Istotnie, spadek o 100% oznacza brak poparcia. (b) Wzrost stężenia nastąpił o 12 − 5 = 7 punktów procentowych, co daje w tym wypadku (12 − 5)/5 · 100% = 700/5 % = 140%. (c) Pensja Janka wzrosła o 90 − 80 = 10 punktów procentowych w porównaniu z pensją Tomka. Oznacza to przyrost o (90 − 80)/80 · 100% = 1000/80 % = 25/2 % = 12,5%, (d) Zapełnienie autobusu przed dojechaniem do przystanku wynosiło 16/40 · 100% = 400/10 % = 40%. Liczba pasażerów na przystanku zmieniła się następująco: 16 − 5 + 19 = 11 + 19 = 30. Zapełnienie wyniosło wówczas 30/40 · 100% = 75% i wzrosło o 75 − 40 = 35 punktów procentowych. Oznacza to wzrost o (75 − 40)/40 = 35/40 = 7/8 · 100% = 87,5%. (e) Przyrost wynosił 70 − 40 = 30 punktów procentowych, co w tym wypadku oznacza (70 − 40)/40 = 30/40 = 3/4 · 100% = 75%.