Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!
Strony WWWSerwery VPSDomenyHostingDarmowy Hosting CBA.pl

Wersja z 2017-11-13

Grzegorz Jagodziński

Rozwiązywanie zadań związanych z wiekiem

Będziemy tu rozważać zadania, w których należy obliczyć wiek jakichś osób, korzystając z pewnych podanych zależności. Na ogół mowa jest w nich o sytuacji obecnej oraz takiej, która miała miejsce szereg lat temu, albo dopiero się wydarzy za szereg lat. Łatwiejsze zadania udaje się rozwiązać, układając jedno równanie. W trudniejszych zadaniach łatwiej jest ułożyć układ równań (choć na ogół można tego uniknąć, przeprowadziwszy dokładną analizę treści). Zdarza się nawet, że występuje w nich więcej osób lub mowa o więcej niż dwóch sytuacjach. Poniżej zebrano najważniejsze wskazówki, które mogą się przydać przy rozwiązywaniu takich zadań.

Zadania związane z wiekiem nie mają najczęściej wyodrębnionych danych i szukanych, a przynajmniej dane nie są liczbami. Zamiast wypisywać dane i szukane, dokonujemy analizy treści i wprowadzamy oznaczenia występujących w zadaniu wielkości. Musimy po pierwsze właściwie dobrać znaczenie niewiadomych. Najlepiej napisać w swoim rozwiązaniu jasno i przejrzyście, co oznacza `x`. Naturalnie jeśli stosujemy dalsze niewiadome, powinniśmy je także dokładnie opisać. Niewiadomą może być wartość, o której mowa w pytaniu, choć są zadania, w których takie oznaczenie nie jest dobre lub wręcz jest nieprzydatne. Za niewiadomą możemy też przyjąć wartość, od której zależą inne wartości. Np. jeśli Marcin ma o 2 lata więcej od Jarka, to naszym `x` będzie wiek Jarka, nie wiek Marcina.

Po drugie, powinniśmy opisać wiek każdej innej osoby występującej w zadaniu, o ile to jest możliwe i potrzebne. Często wiek danej osoby podany jest w treści zadania w postaci związku z wiekiem innej osoby. W podanym przykładzie napiszemy, że `x + 2` oznacza wiek Marcina.

Po trzecie, w opisie używamy poprawnych określeń, np. „`x` – obecny wiek Janka”. Nie wolno pisać skrótami lub niepoprawnie, jak np. „`x` – Janek”, bo taki zapis nic nam przecież nie mówi. Przecież `x` to nie żaden Janek, ale liczba jego lat, poza tym z takiego zapisu zupełnie nie wiadomo, jakiego momentu dotyczy ów wiek.

Dobrze jest narysować sobie (choćby na brudno) tabelkę, w której wierszach wyszczególnimy wszystkie podane w zadaniu osoby, a w kolumnach wszystkie podane sytuacje (np. stan teraźniejszy i przeszły). Jeżeli zdecydujemy się na taki krok i wprowadzimy tabelkę do rozwiązania, pamiętajmy, żeby nie wpisywać do niej niczego, co dopiero obliczymy niżej. W rozwiązaniu nie można bowiem cofać się i uzupełniać tego, co zostawiliśmy puste. Wszelkie pomocnicze obliczenia robimy zatem nad tabelką, wpisujemy do niej tylko to, co znamy, czyli to, co odczytaliśmy z treści zadania i to, co już ustaliliśmy (także w postaci wielkości niewiadomych).

W zadaniach tego typu musimy myśleć algebraicznie. Umówmy się, że „znany” nie oznacza tego samego, co „wiadomy”. Jeśli o wieku danej osoby w konkretnej chwili nic nie wiemy i nie potrafimy go powiązać z wiekiem innych osób, to traktujemy go jako nieznany i zostawiamy odpowiednią komórkę tabelki pustą. Jeśli jednak ustaliliśmy na przykład, że wiek pewnej osoby wynosi obecnie `2x` (bo jest dwa razy większy od wieku pewnej innej osoby, który oznaczyliśmy `x`), to pamiętajmy, że choć nie potrafimy tego wieku wyrazić arytmetycznie (w postaci liczby), to umiemy go zapisać algebraicznie (symbolicznie), a to już oznacza, że mamy pewną wiedzę na jego temat. Jest to dla nas wiek znany, choć niewiadomy (język polski pozwala nam na szczęście na takie rozróżnienie). Tabelka zaś służy do tego, by zebrać to, co znamy, nawet, jeśli nie wiemy, jaka liczba się kryje pod symbolem czy wyrażeniem.

Po wykonaniu tabelki (a przynajmniej po poprawnym opisaniu wszystkich danych) próbujemy ułożyć równanie (lub równania). Pamiętajmy, że liczba równań powinna być równa liczbie niewiadomych lub od niej większa.

Czasami równanie odzwierciedla to, co zawarte zostało w treści zadania. W innych wypadkach kluczem do poprawnego ułożenia równania (lub równań) bywa spostrzeżenie, że jeśli jakaś osoba postarzała się o pewną ilość lat, to i inne osoby musiały postarzeć się o tyle samo lat. Na przykład jeśli Ania ma obecnie `x` lat, a Gosia `x + 1` lat, to pięć lat temu Ania miała `x - 5` lat, a Gosia `x - 4` lat. Odpowiednie wyrażenia możemy wypisać i uprościć (w tym przykładzie, analizując wiek Gosi: `x + 1 - 5 = x - 4`) przed narysowaniem tabelki. Samo równanie potrzebne do rozwiązania zadania często wygodnie jest napisać, porównując dwa wiersze tabelki.

Czasem wygodniej jest zauważyć, że różnica ilości lat dwóch osób pozostaje zawsze stała. Wszyscy bowiem starzejemy się o tę samą liczbę lat. Nie zawsze wiemy, ile to lat, ale często umiemy tę wielkość zapisać algebraicznie. Jeśli jakiejś osobie przybyło np. `x - y` lat, to i innej osobie przybyło także `x - y` lat. Można to często wykorzystać do ułożenia równania, które pozwoli nam rozwiązać zadanie. Równanie tego typu konstruujemy, analizując dwie kolumny tabelki.

Jeśli wypełnienie tabelki wymaga dodatkowych obliczeń, które trudno nam wykonać bez wstępnej analizy danych, zostawiamy w tabelce luki, i jeśli czujemy taką potrzebę, po przeprowadzeniu koniecznych obliczeń rysujemy tabelkę po raz drugi, umieszczając w niej nowo otrzymane wartości (obok tych, które już znaliśmy wcześniej).

Poniżej przeanalizujemy pewną ilość zadań związanych z omawianym zagadnieniem. Każdemu z nich towarzyszy rozwiązanie, zwykle w postaci obliczeń i szczegółowego komentarza. Analiza tych rozwiązań posłuży jako ilustracja powyższych wskazówek.

Ukryj wskazówkiPokaż wskazówki

Zadania

Zadania opracowane zostały przez autora, o ile nie podano inaczej.

1. Jarek i Marcin mają razem 26 lat. Marcin jest o dwa lata starszy od Jarka. Ile lat ma każdy z chłopców?

Istotne podpowiedzi do zadania podane zostały wyżej, we wskazówkach. Wiemy więc, wiek którego z chłopców należy oznaczyć przez `x` i wiemy, dlaczego. Pamiętajmy też, że „o dwa” znaczy w matematyce `+ 2`. Oznaczmy zatem `x` – wiek Jarka, `x + 2` – wiek Marcina, i wypiszmy to na początku naszego rozwiązania.

Tabelka w naszym zadaniu nie jest potrzebna, a do ułożenia równania wystarczy informacja zawarta w pierwszym zdaniu tekstu. Mając oznaczony wiek każdego z chłopców, łatwo napiszemy, że suma ich wieku to 26 lat: `x + (x + 2) = 26`. Nawias nie jest niezbędny, służy on tylko do tego, by lepiej wyodrębnić wiek Marcina.

Dalsze rozwiązanie jest już elementarne: `x + x + 2 = 26`, redukujemy wyrazy podobne: `2x + 2 = 26`, rozdzielamy niewiadome od wiadomych: `2x = 26 - 2`, znów redukujemy wyrazy podobne: `2x = 24`, dzielimy obie strony przez współczynnik liczbowy przy niewiadomej, czyli przez 2 (co możemy, lecz nie musimy zapisać `2x = 24 |:2`), skąd otrzymujemy: `x = 12`. Obliczyliśmy wiek Jarka, nie zapomnijmy jeszcze obliczyć wiek Marcina: `x + 2 = 12 + 2 = 14`.

Odpowiedź: Jarek ma 12 lat, a Marcin 14 lat.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


2. Czternastoletni chłopiec jest sześć razy młodszy od swego dziadka. Ile lat ma dziadek?

[Źródło: S. Białas, J. Lipczyński, S. Olczak, Zbiór zadań z matematyki dla szkoły podstawowej. Klasa V, VI, VII, WSiP, Warszawa 1977, str. 45, zad. 128]

Zadanie jest bardzo proste i przeznaczone do rozwiązania w pamięci. Wykonując go pisemnie, wystarczy oznaczyć `x` – wiek dziadka, a następnie ułożyć równanie: `14 = 1/6 x`. Zamieniamy strony miejscami (bez zmiany znaków): `1/6 x = 14`, a następnie mnożymy obie strony przez mianownik 6: `x = 84`.

Odpowiedź: Dziadek ma 84 lata.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


3. Ojciec ma 36 lat, a syn 4. Za ile lat ojciec będzie 5 razy starszy od syna?

Zadanie jest nieco trudniejsze od poprzednich, jednak stosunkowo łatwo można je rozwiązać bez pomocy tabelki.

Zaczniemy od ustalenia, co oznaczymy literą `x`. Najprościej przeanalizować w tym celu pytanie postawione w zadaniu. Zapisujemy: `x` – ilość lat, po upływie których ojciec będzie 5 razy starszy od syna.

Teraz ustalmy wiek ojca i syna po upływie tych `x` lat. Jest to konieczne, by zapisać warunek zawarty w pytaniu. Wystarczy dodać liczbę lat do obecnego wieku obu osób. Zapisujemy:

`36 + x` – wiek ojca za `x` lat,

`4 + x` – wiek syna za `x` lat.

Skoro wiek ojca ma być 5 razy większy od wieku syna, musi być spełniony warunek: `36 + x = 5 (4 + x)`. Zapisujemy utworzone równanie i rozwiązujemy je według typowego schematu.

Likwidujemy nawias, mnożąc jednomian przez sumę algebraiczną: `36 + x = 20 + 5x`.

Rozdzielamy niewiadome i wiadome: `x - 5x = 20 - 36`.

Redukujemy wyrazy podobne: `-4x = -16`.

Dzielimy obie strony przez współczynnik przy niewiadomej, czyli przez `-4`: `x = 4`.

Odpowiedź: Ojciec będzie 5 razy starszy od syna za 4 lata.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


4. Ojciec ma 36 lat, a syn 8. Za ile lat ojciec będzie 5 razy starszy od syna?

[Źródło: S. Białas, J. Lipczyński, S. Olczak, Zbiór zadań z matematyki dla szkoły podstawowej. Klasa V, VI, VII, WSiP, Warszawa 1977, str. 211, zad. 40]

Zadanie wydaje się podobne do poprzedniego, zawiera jednak haczyk.

Postępując jak w zadaniu poprzednim, zapisujemy wyniki analizy zadania: `x` – ilość lat, po upływie których ojciec będzie 5 razy starszy od syna, `36 + x` – wiek ojca za `x` lat, `8 + x` – wiek syna za `x` lat.

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie: `36 + x = 5(8 + x)`, `36 + x = 40 + 5x`, `x - 5x = 40 - 36`, `-4x = 4 | :(-4)`, `x = -1`.

Otrzymaliśmy wynik ujemny. Czy wynika z niego, że zadanie nie ma rozwiązania? Nie! Ujemny wynik oznacza, że interesująca nas chwila już się zdarzyła. Piszemy zatem odpowiedź, której poprawne sformułowanie jest właśnie wspomnianym haczykiem.

Odpowiedź: Ojciec był 5 razy starszy od syna rok temu.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


5. Teofil i jego młodsza siostra Agata mają razem 105 lat. Różnica ich wieku równa się liczbie lat Agaty wtedy, gdy Teofil miał tyle lat, ile teraz ma Agata. Ile lat mają Agata i Teofil?

[Źródło nieznane]

Niech `x` oznacza obecny wiek Agaty. Obecnie oboje mają razem 105 lat, z czego wynika, że Teofil ma `105 - x` lat.

W zadaniu mowa też o czasie, gdy Teofil miał tyle lat, co teraz Agata, czyli `x`. Wiek Agaty w tamtym czasie możemy oznaczyć przez `y`. Przedstawimy teraz znane wielkości w tabelce:

 obecniejakiś czas temu
wiek Teofila`105 - x``x`
wiek Agaty`x``y`

Wykorzystajmy informację podaną w zadaniu, że różnica wieku rodzeństwa równa jest liczbie lat Agaty jakiś czas temu. Daje nam to równanie `y = 105 - x - x`.

Mamy dwie niewiadome, potrzebujemy zatem dwóch równań. Drugie równanie ułożymy, wiedząc, że obojgu rodzeństwa przybyło tyle samo lat: `105 - x - x = x - y`.

Podstawmy wyrażenie z prawej strony pierwszego równania do drugiego równania (za `y`), pamiętając o konieczności użycia nawiasów: `105 - x - x = x - (105 - x - x)`.

Przeprowadźmy teraz redukcję wyrazów podobnych: `105 - 2x = x - (105 - 2x)` i pozbądźmy się nawiasów, pamiętając o znakach: `105 - 2x = x - 105 + 2x`.

Przerzućmy niewiadome na lewą stronę, a wiadome na prawą: `-2x - x - 2x = -105 - 105` i zredukujmy wyrazy podobne: `-5x = -210`.

Po podzieleniu obu stron przez `-5` otrzymujemy: `x = 42`, czyli obecny wiek Agaty (patrz tabela).

Musimy jeszcze obliczyć obecny wiek Teofila: `105 - x = 105 - 42 = 63`.

Odpowiedź: Agata ma obecnie 42 lata, a Teofil 63 lata.

Uwaga: zadanie można rozwiązać, nie używając w ogóle niewiadomej `y`. Wystarczy wpisać do tabeli `105 - x - x` jako wiek Agaty jakiś czas temu i zacząć od równania `105 - x - x = x - (105 - x - x)`.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


6. Paweł ma 12 lat, to jest dwa razy tyle, ile Piotrek miał wtedy, kiedy Paweł miał tyle, ile Piotrek ma teraz. Ile lat ma Piotrek?

[Źródło nieznane]

Zadanie wydaje się niezmiernie zawikłane, ale w rzeczywistości nie jest wcale trudne.

Niech `x` oznacza szukaną wartość, czyli obecny wiek Piotrka. Z zadania wynika, że interesuje nas także moment, kiedy to Paweł miał `x` lat (tyle, ile Piotrek teraz). Możemy to przedstawić w tabelce:

 obecniejakiś czas temu
wiek Pawła12`x`
wiek Piotrka`x``y`

Wiek Piotrka jakiś czas temu możemy oznaczyć przez `y`, jak w tabeli. Warunek podany w zadaniu przyjmie wówczas postać `12 = 2y`.

Możemy warunek ten teraz rozwiązać, dostając `y = 6`. Możemy też nie używać w ogóle zmiennej `y` i od razu wpisać `6` do tabeli zamiast `y`.

Pamiętając, że różnica liczby lat obu chłopców nigdy się nie zmieni, układamy równanie, posiłkując się danymi z tabeli: `12 - x = x - 6`.

Proste przeniesienie wiadomych i niewiadomych, redukcja wyrazów podobnych i podzielenie obu stron przez 2 doprowadzą nas do wyniku: `x = 9`.

Odpowiedź: Piotrek ma obecnie 9 lat.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


7. Kiedy Wacek miał tyle lat, ile teraz Jacek, wtedy Placek miał tyle lat, ile mają razem Wacek i Jacek. Kiedy Placek miał tyle lat, ile teraz Wacek?

[Źródło nieznane]

Zadanie jest zawikłane i bardzo trudne, a wynika to między innymi z faktu, że nie występuje w nim żadna liczba. Co więcej, okaże się, że także żadnej liczby nie otrzymamy w wyniku.

W zadaniu występują trzy osoby i aż trzy stany: teraźniejszy, stan przeszły pierwszy („kiedy Wacek miał tyle lat, ile teraz Jacek”) oraz stan przeszły drugi, który jest treścią pytania.

Niech `x` oznacza obecny wiek Jacka, a `y` obecny wiek Wacka. Do tabelki wpiszemy tylko dane wynikające bezpośrednio z analizy treści zadania:

 obecnieprzeszłość 1przeszłość 2
wiek Wacka`y``x` 
wiek Jacka`x`  
wiek Placka `x + y``y`

Wydawać by się mogło, że te dane nie pozwolą nam na ułożenie choćby jednego równania. Tak jednak nie jest, zauważmy bowiem, że pierwszy wiersz tabeli zawiera dwie wartości. Możemy więc obliczyć i wyrazić w formie algebraicznej (czyli używając liter symbolizujących niewiadome), ile lat upłynęło do chwili obecnej od momentu, gdy wiek Placka był równy sumie obecnego wieku Wacka i Jacka. Było to mianowicie `y - x` lat.

Wiedząc, ile upłynęło czasu, możemy wypełnić brakujące miejsca w tabeli. I tak, obliczymy wiek Jacka w stanie przeszłym pierwszym: `x - (y - x) = x -y + x = 2x - y`.

Obliczymy też obecny wiek Placka, wprowadzając nawiasy dla większej czytelności: `(x + y) + (y - x) = x + y + y - x = 2y`.

Wpiszemy te wartości do tabelki:

 obecnieprzeszłość 1przeszłość 2
wiek Wacka`y``x` 
wiek Jacka`x``2x - y` 
wiek Placka`2y``x + y``y`

Zajmijmy się teraz stanem, o którym mowa w pytaniu (gdy Placek miał tyle lat, ile teraz ma Wacek, czyli `y`). Patrząc na wiek Placka, bez trudu obliczymy, że od tamtej chwili do momentu obecnego upłynęło `2y - y = y` lat. A skoro tak, to Jacek miał wtedy `x - y` lat, natomiast Wacek… no właśnie, jego wiek wynosił wówczas `y - y` czyli 0 lat. Chodzi więc o rok, w którym Wacek się urodził.

Dla porządku możemy jeszcze wypełnić do końca tabelkę:

 obecnieprzeszłość 1przeszłość 2
wiek Wacka`y``x``0`
wiek Jacka`x``2x - y``x - y`
wiek Placka`2y``x + y``y`

Uwaga: Z analizy pierwszego wiersza tabelki wynika, że `x < y`. Ale w takim razie wyrażenie `x - y` nie ma sensu fizycznego: gdy Placek miał `y` lat, a Wacek dopiero się narodził, Jacka nie było jeszcze na świecie. Co więcej, nie wiemy, czy sens fizyczny ma wyrażenie `2x - y`. W chwili określanej przez nas jako stan przeszły pierwszy Jacek mógł już być na świecie lub nie. Nie ma to jednak wpływu na rozwiązanie zadania.

Odpowiedź: Tyle lat, ile ma teraz Wacek, miał Placek w roku, w którym Wacek się urodził.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


8. Ania i Tomek mają razem 14 lat. Dwa lata temu Tomek był 4 razy starszy od Ani. O ile lat Tomek jest starszy od Ani? Czy prawdą jest, że Ania jest dwa razy młodsza od Tomka?

[Źródło: https://www.zadania.info/d1459/7337215, zmienione]

Wracamy do zadań łatwiejszych (co nie znaczy banalnych). Zadanie rozwiążemy na 3 sposoby.

Sposób 1

Oznaczmy `x` – różnica wieku Tomka i Ani (gdyż tak wskazuje pierwsze pytanie). To jednak nie wystarczy, by łatwo zapisać obecny wiek Ani i wiek Tomka. Ponieważ wiemy, że Tomek jest starszy od Ani o `x` lat, więc to wiek Ani będzie drugą niewiadomą `y` (opisujemy w rozwiązaniu: `y` – wiek Ani). Wiek Tomka zatem wynosi `x + y` (dlaczego tyle?). Kolejność liter w takich zapisach powinna być, jeśli to możliwe i sensowne, alfabetyczna, ale nic nie stoi na przeszkodzie, by zapisać wiek Tomka jako `y + x`. Dwa lata temu każde z nich było oczywiście młodsze o 2 lata, zatem wiek Ani wynosił `y - 2`, a wiek Tomka `x + y - 2`.

Wszystkie te informacje wypisujemy w rozwiązaniu (jest to tzw. analiza treści zadania, która zastępuje tradycyjne dane i szukane). Oczywiście możemy także (choć nie musimy) zebrać wyniki analizy w tabelce:

 obecnie2 lata temu
wiek Ani`y``y - 2`
wiek Tomka`x + y``x + y - 2`

Mamy dwie niewiadome, musimy więc ułożyć dwa równania. W tym celu wykorzystamy dwie informacje z zadania:

Warto zauważyć, że gdy w zadaniu mowa „Tomek był (starszy)”, to w istocie rozumiemy to jako „wiek Tomka był (większy)”. Skoro wiek Tomka (dwa lata temu) to `x + y - 2` (z tabelki), to takie właśnie wyrażenie zaczyna drugie równanie. Odpowiednikiem słowa „był” jest znak równości. Wreszcie po prawej stronie zamiast pisać słownie „cztery razy większy od wieku Ani”, piszemy po prostu `4(y - 2)`, co oznacza przecież dokładnie to samo. Jak widać, układając równania, przekładamy zdania języka mówionego na język matematyki. Jeśli wykonaliśmy starannie analizę treści zadania, takie skonstruowanie równania naprawdę nie powinno być trudne.

Otrzymaliśmy układ równań, rozwiążemy go dowolną metodą, np. tak:

`{(y + x + y = 14),(x + y - 2 = 4(y - 2)):}`
Pozbywamy się nawiasów:
`{(y + x + y = 14),(x + y - 2 = 4y - 8):}`
Rozdzielamy niewiadome od wiadomych:
`{(x + 2y = 14),(x + y - 4y = - 8 + 2):}`
Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych:
`{(x + 2y = 14),(x - 3y = - 6):}`
Wyliczamy `x` z drugiego równania:
`{(x + 2y = 14),(x = 3y - 6):}`
Wstawiamy `x` z drugiego równania do pierwszego:
`{(3y - 6 + 2y = 14),(x = 3y - 6):}`
Rozdzielamy niewiadome od wiadomych:
`{(3y + 2y = 14 + 6),(x = 3y - 6):}`
Redukujemy wyrazy podobne:
`{(5y = 20),(x = 3y - 6):}`
Pierwsze równanie dzielimy stronami przez 5:
`{(y = 4),(x = 3y - 6):}`
Wstawiamy wyliczoną wartość `y` do drugiego równania:
`{(y = 4),(x = 3*4 - 6):}`
Obliczamy wartość niewiadomej `x`:
`{(y = 4),(x = 12 - 6):}`
Wypisujemy wartości obu niewiadomych:
`{(y = 4),(x = 6):}`

Podano tu rozwiązanie ze szczegółowymi komentarzami, które warto zoptymalizować. Można np. nie przepisywać drugiego równania po wyliczeniu `x` (trzeba jednak koniecznie napisać na końcu wartości obu niewiadomych), można dokonywać niektórych operacji w głowie, można wreszcie zastosować całkiem inną metodę.

Pamiętajmy jednak, że w wyniku obliczeń otrzymaliśmy wiek Ani, który wynosi obecnie 4 lata, oraz różnicę wieku Tomka i Ani, która wynosi 6 lat.

Obliczmy jeszcze wiek Tomka: `x + y = 6 + 4 = 10`. Czy Tomek jest dwukrotnie starszy od Ani? Gdyby tak było, Ania byłaby od niego dwa razy młodsza. Oczywiście nie jest, bo `2 * 4 = 8 != 10` (takiego zapisu możemy użyć w rozwiązaniu). Możemy też policzyć wprost, ile to jest „być dwa razy młodszym od Tomka”: `10 : 2 = 5 != 4`.

Odpowiedź: Tomek jest starszy od Ani o 6 lat. Nie jest prawdą, że Ania jest dwa razy młodsza od Tomka.

Sposób 2

Nie patrzmy na pytania i (np. kierując się matematyczną intuicją) oznaczmy wiek Tomka przez `x`, a wiek Ani przez `14 - x` (dlaczego tak?). Dwa lata temu wiek Tomka był o dwa lata mniejszy i wynosił `x - 2`. Ania miała wtedy `14 - x - 2` lata. Tomek był 4 razy starszy, co zapisujemy słownie „wiek Tomka dwa lata temu to 4 razy wiek Ani dwa lata temu”, czyli algebraicznie `x - 2 = 4(14 - x - 2)`. Tego typu słowne zapisy sformułowane w charakterystyczny sposób ułatwiający ułożenie równania można umieszczać tuż nad nim.

Wystarczy teraz rozwiązać to równanie, otrzymując kolejno `x - 2 = 4(12 - x)` (warto zredukować wyrazy podobne w nawiasie), `x - 2 = 48 - 4x`, `5x = 50` (dlaczego tak?), `x = 10`. Obecny wiek Tomka to 10 lat, a wiek Ani to `14 - x = 14 - 10 = 4`, czyli 4 lata. Różnica wynosi `10 - 4 = 6` czyli 6 lat, a Ania nie jest dwa razy młodsza, co obliczamy: `10 : 2 = 5 != 4`. Nie zapomnijmy o napisaniu odpowiedzi!

Okazało się, że dzięki nadaniu innego znaczenia niewiadomej `x` zadanie udało się rozwiązać bez korzystania z układu równań. A przede wszystkim rozwiązanie okazało się znacznie krótsze.

Sposób 3

Zacznijmy od zauważenia, że jeśli obecnie suma wieku Tomka i Ani wynosi 14, to dwa lata temu wynosiła 10. Dlaczego tak? Otóż Tomek miał o dwa lata mniej, i Ania miała o dwa lata mniej niż ma obecnie. Formalne obliczenie powinno być zapisane na przykład tak: suma wieku Tomka i Ani dwa lata temu wynosiła `14 - 2 - 2 = 10`.

Jeśli przyjmiemy, że Ania miała dwa lata temu `x` lat, to Tomek miał `4x` (był 4 razy starszy), a sumę ich ówczesnego wieku można zapisać jako `x + 4x = 10`, skąd `5x = 10` i `x = 2`. Ania miała wtedy 2 lata, a Tomek 8 lat (co trzeba jakoś zapisać, np. `4x = 4*2 = 8`).

Obecnie Ania ma `2 + 2 = 4` lata, a Tomek `8 + 2 = 10` lat. Można sprawdzić, że faktycznie, suma ich wieku wynosi 14 (piszemy wówczas `4 + 10 = 14`), co nie jest konieczne. Różnica ich wieku to `10 - 4 = 6` lat. Pozostaje jeszcze dowieść prostym zapisem, że podwojony wiek Ani nie równa się wiekowi Tomka i koniecznie zapisać słowną odpowiedź (patrz poprzednie sposoby).

Warto zapamiętać pomysł z obliczeniem sumy wieku dwa lata temu. Podobny wybieg można z powodzeniem stosować i w innych zadaniach. Czasem potrafi ogromnie uprościć obliczenia.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


9. Ula i Kajtek mają razem 22 lata. Pięć lat temu Ula była 3 razy starsza od Kajtka. Ile lat temu Ula była dwa razy starsza od Kajtka?

[Źródło: https://www.zadania.info/d1447/8320121]

Tym razem podamy tylko zapis rozwiązania bez komentarzy. Jeśli nie jest on jasny, trzeba przestudiować rozwiązania poprzednich zadań. Warto też zerknąć na stronę, z której zaczerpnięto zadanie; znajdują się tam dwa inne rozwiązania.

Ilość lat, która upłynęła, odkąd Ula była dwa razy starsza od Kajtka: `x`

Obecny wiek Kajtka: `y`

Obecny wiek Uli: `22 - y`

Wiek Kajtka 5 lat temu: `y - 5`

Wiek Uli 5 lat temu: `22 - y - 5`

wiek Uli 5 lat temu to 3 razy wiek Kajtka 5 lat temu

`22 - y - 5``=``3(y - 5)`
`17 - y``=``3y - 15`
`-y - 3y``=``-15 - 17`
`-4y``=``-32 |:(-4)`
`y``=``8`

Obecny wiek Kajtka: 8 lat

Obecny wiek Uli: `22 - 8 = 14` lat

Wiek Kajtka przed `x` laty: `8 - x`

Wiek Uli przed `x` laty: `14 - x`

wiek Uli przed `x` laty to 2 razy wiek Kajtka przed `x` laty

`14 - x``=``2(8 - x)`
`14 - x``=``16 - 2x`
`-x + 2x``=``16 - 14`
`x``=``2`

Odpowiedź: Ula była dwa razy starsza od Kajtka 2 lata temu.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


HISTORIA KOŚCIOŁA KATOLICKIEGO
CZYLI O CZYM NIE WIE 90% KATOLIKÓW I PROTESTANTÓW

KAŻDY DOBRY KATOLIK MA OBOWIĄZEK ZNAĆ JĄ JAK 10 PRZYKAZAŃ

XVIII–XIV wiek p.n.e. — Postać i kult bóstwa solarnego Mitry są poświadczone na terenach Azji Mniejszej, Persji i Indii.

XIV w. p.n.e. — Krystalizuje się pojęcie grzechu i ideał monoteizmu za panowania egipskiego faraona Echnatona (Amenofisa IV), które to pojęcia zostają przejęte przez Hebrajczyków ostatecznie około VII w. p.n.e.

VI wiek p.n.e. — Mitra, zwany Sol Invictus (Słońce Niezwyciężone) albo Deus Sol Invictus Mithra, to bóstwo słoneczne religii urzędowej Sasanidów. Mitra zrodził się ze skały (Petra Genetrix) i bardziej przypominał herosa niż boga. Mitra to bóg reprezentujący wartości humanistyczne, stanowi siłę opiekuńczą ładu, porządku i bezinteresownej przyjaźni.

12–5 p.n.e. — Narodził się Jezus (hebr. Jeszua), syn Miriam (Maryi, wychowanicy świątynnej) i rzymskiego legionisty Ben Panthery (Pandery). Będąc z nieprawego łoża, musiał opuścić dom rodzinny. Źródła żydowskie podają, że Miriam (Maryja) była fryzjerką (trefnis) i zarabiała na rzecz swojej świątyni. Gdy okazało się, że jest w ciąży, kapłani byli zmuszeni natychmiast wydać ją za mąż. Idealnym kandydatem był Józef – miejscowy cieśla, rzemieślnik, człowiek w podeszłym wieku, wdowiec. Józef usynowił Jezusa, chociaż miał kilkoro własnych dzieci.

Wiek I — lata 1–100

— Legioniści rozpowszechniają przywieziony z Persji kult boga Mitry w Cesarstwie Rzymskim. Początkowo istnieje rodzaj tajemnego Bractwa Rycerskiego wyznawców Mitry wśród legionistów i ich przyjaciół.

30 lub 33 — W Jerozolimie ukrzyżowano Jeszua, Jezusa Chrystusa, uznawanego przez niektórych Żydów za długo oczekiwanego Mesjasza, a podejrzanego o wzniecanie waśni religijnych, obrazę uczuć wyznawców religii żydowskiej, sekciarstwo i wszczynanie powstania przeciwko okupantom Rzymskim.

33 lub 34 — Pierwsza egzekucja publiczna w zborze chrześcijańskim dokonana przez apostoła Piotra na Ananiaszu i Safirze. Zostali zamordowani za rzekome ukrycie części swojego majątku przed świeżo powstałym kościołem chrześcijańskim w Jerozolimie. Egzekucja została przeprowadzona z pomocą chrześcijańskiej czarnej magii. Modły chrześcijan wedle zapisu z Dziejów Apostolskich mogą być bardzo szkodliwe dla otoczenia i nowo nawróconych! Zdarzenie to jest uważane za historyczny archetyp mrocznej strony chrześcijaństwa, w szczególności katolicyzmu i papiestwa.

66 — Wybuch żydowskiego powstania antyrzymskiego kierowanego w dużej mierze przez wyznawców Jezusa. Najważniejszym momentem było oblężenie Jerozolimy w 70 roku. Miasto padło 11 września 70 roku. Tacyt podaje, że w walkach zginęło 600 tysięcy ludzi. Całe miasto zostało zamienione w ruinę. Zniszczeniu uległa Świątynia Jerozolimska, tzw. Druga Świątynia, a wszyscy pozostali przy życiu Żydzi, w tym chrześcijanie uważani za jedno ze stronnictw żydowskiej religii, zostali wygnani z terenu miasta.

70 — Zauważalne zjawisko odsuwania się od siebie społeczności wczesnochrześcijańskich i żydowskich.

Wiek II — lata 101–200

— Najstarsze znane mitrea, miejsca sprawowania kultu Mitry, boga Słońca. Pochodzą z połowy II wieku, najnowsze z połowy V wieku n.e.

— Chrześcijanie w dalszym ciągu nie uważają Jezusa za współistotnego – równego Bogu. Przyznają mu drugie miejsce po „niezmiennym i wiecznym Bogu, Stwórcy świata”.

120 — Pierwsze wzmianki o używaniu wody święconej do „wypędzania duchów nieczystych”.

132 — Rzymski cesarz Hadrian postanowił odbudować Jerozolimę jako miasto hellenistyczne ze świątynią Jowisza i nazwą Colonia Aelia Capitolina. Wywołało to wybuch kolejnego powstania żydowskiego pod wodzą Bar Kochby (lata 132–135). Żydzi, wśród których dominowali chrześcijanie, odzyskali przejściowo Jerozolimę, jednak w 135 roku ich opór został złamany. Jerozolima została doszczętnie zniszczona, a na jej miejscu założono rzymskie miasto o nazwie Aelia Capitolina. Plac, na którym stała świątynia żydowska oraz jej otoczenie, został zaorany. Rzymianie zmienili nazwę kraju z Judei na Syria Palestina (Syria palestyńska, czyli filistyńska). Zakazano Żydom wstępu do miasta, a w miejscu ich dawnej świątyni powstała okazała Świątynia Boga Jowisza.

ok. 136–142 — Wprowadzenie instytucji rodziców chrzestnych przez „świętego” Hygina, biskupa Rzymu.

138 — Przypuszczalny rok śmierci Karpokratesa, „heretyka”, judeochrześcijanina nieuznającego boskiej natury Jezusa, uważającego go za prawdziwego syna Józefa.

156 (lub 167) — Precedens kultu zmarłych dotyczący na razie kilkunastu osób, także pierwsze wzmianki o kulcie relikwii. Po męczeńskiej śmierci biskupa Polikarpa i jedenastu wiernych z kościoła w Smyrnie (Turcja) zainicjowano praktykę czczenia zmarłych „świętych” i ich relikwii.

157 — Po raz pierwszy zastosowano formy pokuty.

172 — Pierwsze obwąchiwanie z władzą państwową. Meliton z Sardes kieruje apologię do Marka Aureliusza z podkreśleniem, że dobre stosunki między państwem a Kościołem leżą w interesie obu stron.

178 — Rzymski filozof Celsus poświadcza fałszowanie i modyfikowanie treści Ewangelii i innych pism chrześcijańskich, które i tak, w jego opinii, dalej są pełne sprzeczności. Mówi o rewizjonistach: „przepisywali i przerabiali Pisma Święte z ich pierwotnej postaci i usunęli wszystko, co pozwalało im na odparcie skierowanych przeciwko nim zarzutów” (Orygenes, Alethes logos).

178 — Mniej więcej wtedy powstał pierwszy znany wykaz ksiąg Nowego Testamentu, uznawanych za natchnione, tzw. kanon Muratoriego. Są w nim znane dziś 4 ewangelie, nie ma Listu do Hebrajczyków, Listu Jakuba, Listów Piotra ani Trzeciego Listu Jana; jest natomiast deuterokanoniczna Księga Mądrości oraz uznawane dziś za apokryfy: Apokalipsa Piotra i Pasterz Hermasa.

180–200 — Powołanie do życia kleru. Ustanowiono „stan duchowny” przez wprowadzenie ordynacji. Chrześcijanie zostali podzieleni na duchownych i laików. Przedtem wszyscy byli na równi, jednocześnie będąc braćmi i kapłanami przed Bogiem.

180–192 — Cesarz Kommodus. Został wyznawcą mitraizmu, co sprawiło, że religia ta podbiła Imperium Rzymskie. Bóg Mitra jako (łac.) Sol Invictus („Słońce Niezwyciężone”) czczony był przede wszystkim od czasów Aureliana przez cesarzy rzymskich, wśród których znalazł się także młody Konstantyn I (306–337), zanim nie przystąpił do chrześcijaństwa.

Ok. 180 — Po raz pierwszy w kontekście chrześcijańskim pojawia się słowo „mnich” (z gr. monos – samotny) u eremity Symmacha.

190 — Wykluczenie z Kościoła m.in. Theodotasa za utrzymywanie, że Jezus był człowiekiem wypełniającym jedynie wolę boską.

195 — Sławę zdobywa Aleksandryjska szkoła katechetów specjalizująca się tworzeniu (fałszowaniu?) dokumentów mających pomóc w „zwycięskim pochodzie chrześcijaństwa”.

— Pod koniec II wieku wyznawcy chrystianizmu zaczynają głosić nauki o wieczystym dziewictwie Maryi. Wcześniej nikt tego nie twierdził. Ewangelia Mateusza informuje, iż Józef „nie zbliżał się do Maryi, aż porodziła Syna”. „Zbliżenie się” oznacza w Biblii małżeńskie współżycie. Fakt współżycia Józefa z Maryją po narodzinach Jezusa będzie oczywisty dla każdego, komu kościelne dogmaty nie zakazują logicznego wnioskowania.

Wiek III — lata 201–300

— Pierwsze wzmianki na temat odbywania przez księży stosunków z tzw. świętymi dziewicami (duchowa małżonka, poświęcona Bogu dziewica). Przed III wiekiem żaden Ojciec Kościoła nic nie wiedział na temat dziewictwa Maryi. „Do IV wieku nie słyszano też o jej cielesnym wniebowzięciu; zamieniona później w dogmat wiara w Niepokalane poczęcie była zwalczana jako zabobon przez największych luminarzy i Ojców Kościoła, takich jak Bernard, Bonawentura, Albert Wielki i Tomasz z Akwinu”.

— Powstają traktaty, celebrujące dziewictwo „pod niebiosa”.

212 — Umiera Klemens z Aleksandrii (ur. ok. 150), uważany przez katolików i prawosławnych za świętego.

217–235 — Walka o władzę w łonie Kościoła. Hipolit, powołany na tron papieski nieprawnie, zostaje pierwszym antypapieżem. Po pojednaniu się z Kościołem i męczeńskiej śmierci uznano go za świętego.

220 — Przyjęto dogmat o konieczności pewnych czynności kościelnych, niezbędnych do zbawienia. Chrzest okazał się niewystarczający.

225–230 — Biskup Rzymu („papież”) Urban I zastępuje zwykły stół ołtarzem i zaleca używanie do ceremonii mszy kielichów wykonanych ze złota lub srebra. Nie była to jeszcze koncelebracja, ani nawet msza w obecnym rozumieniu tego słowa. Kościół już jednak przejmował ceremoniał mitraizmu i powoli proste spotkania modlitewne przekształcał w ceremoniał. Po raz pierwszy zamiast greki użyto łaciny w ceremoniach kościelnych.

235 — Umiera biskup Rzymu Hipolit (ur. przed 170), antypapież. W statucie kościelnym zakazuje kategorycznie wstępowania chrześcijan do wojska: „Jeśli katechumen albo człowiek ochrzczony chce być żołnierzem, to trzeba go odtrącić, sprzeniewierzył się bowiem Bogu!”

240 — Umiera Tertulian, łaciński teolog z Afryki Północnej (ur. między 150 a 160).

249 — Salezjanie zostają wyklęci przez synod. „(…) którzy nie tylko kastrowali swych zwolenników, ale i każdego, kto miał pecha znaleźć się w ich mocy (…)”.

250 — Wprowadzono naukę o wiecznych mękach.

251 — Orygenes tak pisze o współczesnych sobie kapłanach [Przeciw Celsusowi]: „… najbardziej prostackie typy, nauczające dziwnych paradoksów. Otwarcie oświadczali, że nikt inny tylko ignorant jest godny wysłuchiwać ich dyskursów – nigdy nie pojawiali się w kręgach ludzi światlejszych i lepszego gatunku, lecz zawsze starali się mieszać z ignorantami i ludźmi niekulturalnymi, włócząc się po targach i robiąc żarty – szpikowali swoje cienkie książki starymi bajkami – a jeszcze mniej rozumieją – i piszą na papierze nonsensy – i ciągle robią, nigdy nie kończąc”.

254 — Orygenes oskarżony o wprowadzanie zmian do ewangelii Mateusza i tworzenie tzw. apokryfów (przed V Soborem powszechnym) zostaje poddany torturom, a następnie umiera. Cesarz Justynian nakazuje zmiany w niektórych pismach Orygenesa.

265 — Włączenie do nabożeństw chrześcijańskich części celebracji mitrańskiej. Wprowadzono kadzidło, przed którym pierwotni chrześcijanie się wzbraniali. Zwyczaj okadzania zaczerpnięto z kultów pogańskich. Praktyka ta jeszcze długo była powodem wielkich kontrowersji w Kościele – sprzeciwiali się jej m.in. Orygenes i Cyryl Jerozolimski. Ten ostatni nie wahał się określić tę praktykę jako „służenie szatanowi”.

270–275 — Cesarz Aurelian za swego panowania wynosi mitraizm do rangi religii państwowej, a jej wyznawcy stanowią większość religijną w Imperium Romanum. Wszystkie najstarsze kościoły w Imperium Rzymskim, w tym w Niemczech wzdłuż Dunaju, to dawne świątynie kultu Mitry i innych religii. W Niemczech, w tym w okolicach Monachium odkryto już ponad 40 dawnych świątyń religii mitraickiej!

270 — Powstawanie chrześcijańskiego monastycyzmu. Antoni Pustelnik zamieszkuje na górze Kolzim. Podejmuje walkę z szatanem jako pierwszy pustelnik. Wkrótce dołączają do niego inni.

297 — Drugi przypadek uznania męczenników za osoby święte. Pierwsza uroczystość Wszystkich Świętych Męczenników zainicjowana przez kościół w Antiochii.

Wiek IV — lata 301–400

— Konstytucje Apostolskie opowiadały się (nadal) za małżeństwem duchownych.

303 — Euzebiusz (późniejszy biskup Cezarei) napisał pierwszą znaczącą historię Kościoła. Dokończył ją potem Hieronim do roku 378.

Ok. 306 — Synod w Eliberri (Elwira w Hiszpanii, najprawdopodobniej część późniejszej Granady).

310 — Wprowadzono praktykę modlitwy za zmarłych. Pierwsza uroczystość Wszystkich Świętych Męczenników zostaje zainicjowana przez kościół w Antiochii.

310 — Wprowadzono zwyczaj żegnania się znakiem krzyża.

312 — Bitwa przy Moście Mulwijskim niedaleko Rzymu, w czasie której Konstantyn obwołany przez wojsko cesarzem zwyciężył i zabił Maksencjusza.

313 — Chrześcijaństwo uzyskuje równouprawnienie z mitraizmem. Edykt w Mediolanie wydany przez Konstantyna i Licyniusza, przyznający chrześcijanom wolność wyznania.

314 — Synod w Arelate uchwalił ekskomunikę dla dezerterów. Dotąd Kościół zabraniał zabijania w obronie koniecznej.

314 — Synod w Ancyrze zezwolił diakonom mieć żony, jeśli je sobie wcześniej zastrzegli.

314 — Konstantyn zwołuje synod w Arles.

317 — Po tym jak chrześcijaństwo staje się oficjalną religią imperium, biskupi zaczynają towarzyszyć wojskom jako kapelani i tego roku pojawia się prawdopodobnie pierwsza chorągiew z inicjałami Chrystusa.

317 — W Rzymie na Wzgórzach Watykańskich chrześcijanie przejmują świętą grotę Mitry, czyniąc z niej siedzibę Kościoła Katolickiego (późniejszy Lateran). Zgodnie z późniejszymi wierzeniami, w tym roku uwięziono Lewiatana w podziemiach Lateranu. W miejscach kultu Mitry stawiane są nowe kościoły. Podziemne sanktuaria Mitry można do dziś zwiedzać m.in. pod kościołem Santa Prisca i San Clemente.

318 — Za sprawą Konstantyna jurysdykcja duchowna została zrównana z państwową, co ostatecznie doprowadziło do strasznych nadużyć. Władzę sądowniczą odebrano biskupom kilkadziesiąt lat później.

319 — Cesarz Konstantyn ustanowił prawo zwalniające kler od płacenia podatków i służby w armii.

320 — W kościołach wprowadzono świece wotywne.

320 — W Tabennis (Egipt) powstaje klasztor założony przez byłego rzymskiego żołnierza – Pachomiusza. Stworzył on również pierwszą regułę zakonną (iście wojskową), która wpłynęła na reguły Bazylego, Kasjana i Benedykta.

321 — Cesarz Konstantyn zezwala wszystkim na darowizny na rzecz Kościoła.

321 — Konstantyn oficjalnie nakazuje święcić tzw. chrześcijańską niedzielę zamiast dotychczasowej tzw. żydowskiej soboty (na pamiątkę zmartwychwstałego boga Mitry, którego kult dotarł do Rzymu, a także dla uczczenia słońca uznawanego za boga przez wyznawców kultu Sol Invictus). Dekret Konstantyna brzmi następująco: „Czcigodny dzień Słońca winien być wolny od rozpraw sądowych i od wszelkich zajęć ludności miejskiej; natomiast mieszkańcy wsi mogą w tym dniu swobodnie uprawiać rolę” (Codex Justinianus, III, 12).

324 — Po zwycięstwie nad Licyniuszem Konstantyn zostaje jedynym władcą i wyraźnie już popiera chrześcijaństwo. Zezwala na budowę kościołów w Nikomedii, Antiochii, Jerozolimie (kościół Grobu Świętego), Betlejem (kościół Bożego Narodzenia) i w Rzymie (Laterański). Zwalnia kler z płacenia podatków i świadczenia usług publicznych oraz zrównuje go w prawach z wysokimi urzędnikami państwowymi. Nadaje też prawo przyjmowania majątków ziemskich w formie darowizn.

325 — Sobór Nicejski I, pierwszy sobór ekumeniczny. Powszechny sobór biskupów, zorganizowany w celu ujednolicenia dogmatyki ówczesnego podzielonego chrześcijaństwa.

330 — Konstantynopol zostaje ogłoszony przez Konstantyna nową stolicą cesarstwa. Wprowadzenie dogmatyki czczenia zmarłych „świętych” (początkowo byli nimi wyłącznie męczennicy za wiarę) i ich relikwii. Rozpowszechniła się tradycja przenoszenia całych relikwii świętych, lub ich części, na inne miejsca. W ten sposób chciano jakoby podkreślić, że święci są własnością całego Kościoła.

337 — Konstantyn na łożu śmierci przyjmuje chrzest z rąk ariańskiego biskupa Euzebiusza z Nikomedii, mimo że Sobór Nicejski potępił nauki Ariusza. Przed przyjęciem chrztu Konstantyn był wyznawcą Mitry.

337–361 — Na tronie cesarskim zasiada Konstancjusz II, zwolennik arianizmu. Wciela ten odłam chrześcijaństwa siłą na synodach w Arles (353), Mediolanie (355) i Béziers (356). Aby zastraszyć biskupów, na synod w Mediolanie wchodzi z obnażonym mieczem. Nie pierwszy to raz, gdy władca świecki decyduje w sprawach wiary. Za sprawą Konstancjusza potępiono i skazano na zesłanie Atanazego Wielkiego, Hilarego z Poitiers, Dionizego z Mediolanu, biskupa rzymskiego Liberiusza i Hozjusza z Kordoby.

340 — Maria, siostra Pamomiusza, zakłada pierwszy klasztor żeński.

341 — W bardzo sędziwym wieku umiera Paweł z Teb, pierwszy pustelnik chrześcijański (ur. ok. 228), patron paulinów, uważany za świętego przez katolików i prawosławnych. Od 16 roku życia mieszkał na pustyni i był rzekomo karmiony przez kruka posyłanego przez Boga. Przed śmiercią odwiedził go święty Antoni, a jego grób wykopały dwa lwy. Uzupełnieniem tych legend jest przekonanie niektórych, że Paweł jest twórcą modlitwy różańcowej. W rzeczywistości pierwsze przejawy kultu maryjnego są ok. 100 lat późniejsze. Paweł mógł jednak modlić się przy pomocy sznurów z węzłami, jednak były to najpewniej modlitwy do Jezusa, a nie do Maryi. Modlitwę Jezusową do dziś odmawia się przy pomocy czotków (zwanych też brojanicą lub komboskionem) w prawosławiu. Użycie tego typu przedmiotów było jednak nieznane w Europie jeszcze przez co najmniej kilkaset lat. Pierwowzorem takiego modlitewnego sznura mogła być buddyjska mālā, służąca do wykonywania mantr lub innych powtarzalnych praktyk religijnych, znana też w hinduizmie. Służy ona m.in. do odmawiania modlitw ku czci bogini Kali, czczonej w Indiach jako Dziewica i Królowa Niebios.

343 — Precedens mający posłużyć późniejszej dominacji Rzymu nad Kościołem. Synod w Sardyce ustanowił prawo odwoływania się odwołanych przez synod biskupów do biskupa Rzymu (z szacunku dla Piotra, pierwszego niby biskupa Rzymu, o którym większość historyków mówi, że nigdy nie był nawet w Rzymie).

347 — Początek okresu mordowania przedstawicieli innych wiar (pogan) i niszczenia ich świątyń przez chrześcijan podjudzanych przez biskupów, opatów i mnichów. Publiczne nawoływanie przez Kościół do mordowania innowierców i przejmowania ich majątków oraz plądrowania ich świątyń przerabianych następnie na kościoły. Tak zniszczono kult Mitry.

348 — Uznanie życia klasztornego za święte. Jak ta „świętość” wyglądała, nie ma potrzeby się rozwodzić.

Ok. 350 — Już wtedy pospolity lud uważał urząd biskupi za siedlisko ludzi chciwie bogacących się. Znamienne są słowa Ammianusa Marcellinusa, historyka z IV w., który uważał, że „(…) ktokolwiek zostaje biskupem Rzymu, ten łatwo dochodzi do bogactwa i może wieść żywot feudała”.

355 — Biskupi zostają uwolnieni spod nadzoru sądów świeckich.

356 — Chrześcijaństwo rozpoczyna masowe ofensywne zamykanie innych niż chrześcijańskie świątyń, w tym likwidowanie i przejmowanie największych mitreów.

357 — Rzym wprowadza podatek od wyzwalanych niewolników. W odpowiedzi biskupi wydaja zakaz wyzwalania niewolników stanowiących własność Kościoła. Kapłani wprawdzie nadal wieszczą niewolnikom perspektywę szczęśliwego życia pozagrobowego, ale mogą na nie liczyć tylko niewolnicy posłuszni i ulegli. Kary dla nieposłusznych niewolników przewidywało Objawienie Piotra (w II i III w. uważane przez chrześcijan za pismo kanoniczne), które zapowiadało, że tacy „będą niespokojnie gryźć się w język i cierpieć od wiecznego ognia” (Ap. P 11), oraz nauka dwunastu apostołów, która poucza niewolników, aby odnosili się do swych panów tak jak do samego Boga, oraz aby okazywali im „pokorę i bojaźń” (Didache 4, 11).

360 — Wprowadzenie zwyczaju czczenia aniołów. Powstaje nowa „nauka” – angelologia.

361–363 — Chwilowy regres chrześcijaństwa. Julian Apostata ogłoszony przez armię imperatorem usiłuje przeprowadzić reformę państwa. Tępi przepych i blichtr. Odwraca się też od chrześcijaństwa, widząc jego drapieżność i zakłamanie (głoszenie prawd całkowicie sprzecznych z postępowaniem kapłanów). Niestety ma okazję się jeszcze przekonać, jak chrześcijanie traktują boskie przykazanie „nie zabijaj”. Ginie zamordowany przez własnego żołnierza chrześcijanina w imię „świętości wiary”. Dzieje się to podczas wyprawy przeciw Szarpurowi II nad rzeką Tygrys.

364–378 — Cesarz Walens. W czasie jego rządów zostaje przywrócone chrześcijaństwo, jednak w wersji ariańskiej. Kolejny władca ingerujący w wewnętrzne sprawy Kościoła.

364 — Na synodzie w Laodycei Kościół zabronił świętowania soboty.

367 — Ostateczne ukształtowanie się kanonu ksiąg Nowego Testamentu (List wielkanocny Atanazego). Wcześniej różne grupy chrześcijan uznawały za natchnione różne pisma, w tym więcej ewangelii niż cztery dziś uznawane.

375–383 — Cesarz Flawiusz Gracjan zrzeka się tytułu Pontifex Maximus, czyli najwyższego kapłana.

375 — Wprowadzono po raz pierwszy kult „świętych” obrazów.

378 — Hieronim kończy historię Kościoła, rozpoczętą przez Euzebiusza w 303.

379 — Umiera Ojciec Kościoła Bazyli Wielki z Cezarei Kapadockiej (ur. 329), który ustalił piętnastoletnią pokutę za małżeństwo kazirodcze.

380 — Po wstąpieniu na tron cesarski Teodozjusza I Wielkiego, ostatniego cesarza władającego całym Imperium Romanum, początkowo wraz z Gracjanem i Walentynianem II, chrześcijaństwo staje się oficjalną religią Imperium, zaś Kościół organizacją polityczną, zawsze popierającą działania Cesarzy.

381 — Sobór Konstantynopolitański I.

382 — Synod w Rzymie zwołany przez Damazego ustanawia zwierzchnictwo Kościoła rzymskiego nad pozostałymi. Uchwała głosi: „Choć kościoły katolickie rozsiane na ziemi są jedną komnatą ślubną Chrystusa, święty kościół rzymski jednak został wywyższony ponad wszystkie kościoły nie uchwałami żadnych synodów, lecz otrzymał prymat słowami Pana i Zbawiciela naszego”. Dotąd nie istniał jeden, wielki Kościół Katolicki, tylko wiele pomniejszych kościołów chrześcijańskich, nieraz konkurujących ze sobą. Cesarz zyskuje pośrednio władzę nad wszystkimi chrześcijanami.

385 — Po raz pierwszy katoliccy biskupi polecili ściąć innych chrześcijan z powodów wyznaniowych. Miało to miejsce w Trewirze.

385 — Hieronim przekłada Biblię na łacinę. Nazwano ją Wulgatą. Od VIII w. jest ona powszechnie używana przez Kościół.

385 — Papież Syrycjusz po raz pierwszy w historii Kościoła opowiedział się za celibatem duchowieństwa. Zakaz spółkowania księży ze swoimi żonami odnoszący się tylko do jednej prowincji kościelnej rozciągnął na cały Zachód.

390 — Synod w Hipponie dobiera odpowiednie ewangelie i podania, rozpoczynając tworzenie kanonu „Pisma Świętego”.

391 — Cesarz Teodozjusz I uznał chrześcijaństwo za religię państwową, a praktykowanie innych kultów, w tym mitraizmu zagrożone zostaje karą śmierci.

393 — Synod w Kartaginie kończy ratyfikować kanon „Pisma Świętego”.

394 — Mają miejsce ostatnie starożytne igrzyska olimpijskie. Zerwanie z wielowiekową tradycją następuje pod ogromnym wpływem ówczesnych chrześcijan.

394 — Wprowadzono dla kapłanów obowiązek codziennej celebracji mszy.

395 — Podział cesarstwa przez synów Teodozjusza, Arkadiusza i Honoriusza, na Wschodnie i Zachodnie. Arkadiusz otrzymuje Cesarstwo Wschodnie, Honoriusz – Zachodnie. W ślad za podziałem politycznym w przyszłości nastąpi także podział chrześcijaństwa na prawosławne i rzymskokatolickie, ostatecznie w roku 1054.

395 — Augustyn (zwany świętym) zostaje biskupem Hippony.

397 — Umiera Ambroży, biskup mediolański (ur. 339), mędrzec i jeden z tzw. Ojców Kościoła (zachodniego).

398 — W cesarstwie wschodnim odebrano władzę sądowniczą biskupom, nadaną im przez Konstantyna w 318. Przywilej ten prowadził bowiem do strasznych nadużyć.

400 — Synod Toledański postanawia: „Jeśli poświęcona Bogu córka biskupa, księdza lub diakona upadnie albo wyjdzie za mąż, ani ojciec, ani matka nie mogą jej przyjąć ponownie; ojciec będzie musiał odpowiedzieć przed soborem; kobieta owa nie będzie dopuszczana do komunii, jeśli po śmierci męża nie uczyni pokuty, jeśli jednak opuści go i zapragnie pokuty, to po jej zakończeniu może przystąpić do stołu świętego”.

Wiek V — lata 401–500

— Od V w., co poświadczają liczne, nie tylko Deschnerowskie źródła, biskup Rzymu jest właścicielem największej ilość dóbr ziemskich w całym imperium.

404 — Usunięto Żydów z armii (dotyczyło to imperium rzymskiego).

407 — Umiera Jan Chryzostom, biskup Konstantynopola (ur. 349), który pisał:

408 — W cesarstwie zachodnim odebrano władzę sądowniczą biskupom, nadaną im przez Konstantyna w 318. Przywilej ten prowadził bowiem do strasznych nadużyć.

411 — Początek sporu o pelagianizm (Pelagiusz – asceta irlandzki, 384–410), czyli o wolność woli człowieka, który z natury nie jest ani dobry, ani zły. Chodzi tu o negację wpływu grzechu pierworodnego na człowieka. Grzech pierworodny Adama i Ewy jest tu jedynie złym przykładem, a nie obciążeniem dziedziczonym przez następne pokolenia.

412 — Potwierdzone są przypadki chrztu niemowląt, zatwierdzonego kilka lat później jako obowiązujący. Było to spowodowane wysoką śmiertelnością wśród dzieci w tamtym czasie. Chrzczenie dzieci powodowane było zabobonnym przekonaniem, że jeśli umrą bez tego obrzędu, nie zostaną zbawione, czego przyczyną jest grzech pierworodny.

415 — Tłuszcza zamordowała Hypatię, opiekunkę biblioteki aleksandryjskiej.

415 — Wizygoci podbijają Akwitanię i Prowansję. Ich król Euryk przepędza stamtąd biskupów katolickich i osadza na ich miejscu podległych mu biskupów ariańskich. Chrześcijaństwo nicejskie jest bowiem trudniejsze do kontrolowania przez władców.

416 — Teodozjusz wydaje edykt nakazujący spalenie wszystkich pism antychrześcijańskich.

418 — Synod w Kartaginie wprowadza chrzest niemowląt, co służy automatycznemu przyrostowi szeregów Kościoła.

419 — Synod w Kartaginie pozbawia niewolników uczestnictwa w sądach, jako świadka lub powoda, co wcześniej nie budziło większej opozycji.

423 — Papież Celestyn I zarządza, iż nie wolno wznosić żadnej synagogi bez zgody Kościoła.

428 — Nestoriusz, patriarcha Konstantynopola, zwolennik chrystologii antiochskiej, odrzuca w stosunku do Marii określenie „rodzicielka boga” i przyjęcie „rodzicielka Chrystusa” (czyli dualizm istoty bosko–człowieczej… dwie natury Jezusa).

430 — Umiera Augustyn z Hippony, filozof i teolog (ur. 354), twórca pierwszej doktryny filozoficznej Kościoła Katolickiego. Nawrócony i ochrzczony przez Ambrożego, stał się gorącym zwolennikiem chrystianizmu. Rozgłos zdobyły jego „Wyznania” (autobiografia religijna), dzieło historyczne „Państwo Boże” oraz traktaty teologiczne „O prawdziwej religii” i „O Trójcy”.

431 — Sobór Efeski I potępia nestorianizm, przyjmuje zasadę wiary w boską naturę Jezusa i uznaje Maryję za „Bożą Rodzicielkę”, tj. że człowiek urodził Boga. Wyrażenie Christo Tokos – Matka Chrystusa – zostało zastąpione przez Theo Tokos – Boga Rodzica.

449 — Sobór Efeski II zwołany przez cesarza Teodozjusza II w celu zakończenia sporu o naturę Jezusa. Wzięło w nim udział około 150 biskupów.

449 — Leon I (biskup Rzymu, a nie cesarz o tym samym imieniu, który panował nieco później) wprowadza prymat biskupa Rzymu nad innymi biskupami i tym samym staje się pierwszym papieżem w dzisiejszym rozumieniu tego słowa. Dotąd istniało wiele rozproszonych tez o prymacie, a każdy biskup większego miasta nazywany był papieżem, czyli „papą”. Leon wykorzystał fakt podziału Cesarstwa Rzymskiego na wschodnie i zachodnie, i przywłaszczył sobie wszelkie uprawnienia dotychczasowych cesarzy, w tym zwierzchność nad władzą świecką.

449 — Leon I rozszerzył zakaz małżeństw na subdiakonów.

450 — Śmierć Teodozjusza II i wstąpienie na tron nowego cesarza, będącego przeciwnikiem monofizytyzmu, doprowadziła do zwołania w 451 nowego soboru w Chalcedonie, na którym zostały cofnięte wszystkie uchwały synodu zbójeckiego.

450 — W połowie V wieku dzień 15 sierpnia staje się świętem Wniebowzięcia NMP. Sto kilkadziesiąt lat później cesarz Maurycjusz ustanowi ten dzień świętem dla całego Cesarstwa.

451 — Sobór Chalcedoński, czwarty sobór powszechny. Odrzucił monofizytyzm, sformułował doktrynę o dwóch naturach Chrystusa: boskiej i ludzkiej. Ten sobór i następne nie są przyjmowane przez tzw. kościoły przedchalcedońskie (dawniej nazywane monofizyckimi).

475 — Gmina rzymska od tej pory musiała oddawać czwartą część dochodów kościelnych biskupowi. Druga ćwierć wędrowała do kleru, trzecią rozdzielano między biednych, ostatnią zaś przeznaczano na utrzymanie budynków kościelnych.

476 — Koniec starożytności i początek średniowiecza. Ostateczny upadek zachodniego cesarstwa rzymskiego — nieletni cesarz Romulus Augustulus zostaje odsunięty od władzy przez pretorianina i germańskiego (skirskiego lub herulskiego) wodza Odoakera. Wschodnie cesarstwo (Bizancjum) będzie trwać jeszcze prawie przez tysiąc lat.

476 — Cesarz bizantyjski Bazylisk (nie: Bazyli) potępia uchwały soboru powszechnego w Chalcedonie, a poparło go w tym ok. 500 biskupów orientalnych. Jest to kolejny dobitny przekład tego, że od V w., wraz z rozpoczęciem ery cezaropapizmu, to monarchowie podejmowali decyzje dotyczące wiary (!) bez zasięgania opinii „duchownych”. Tymczasem biskup rzymski Symplicjusz broni postanowień soboru chalcedońskiego wbrew woli cesarza bizantyńskiego.

480 — Odoaker odsyła insygnia cesarskie cesarzowi Zenonowi do Konstantynopola, na znak, że czuje się zależny od władzy cesarzy wschodniorzymskich. Każe nazywać się patrycjuszem. Zależność od cesarza jest jednak tylko formalna, wkrótce zaczyna mu zagrażać militarnie. W tym samym czasie także biskup rzymski Symplicjusz utrzymuje kontakty z cesarstwem wschodnim, jednak bardziej dba o utrzymanie władzy w Rzymie.

481–511 — Panowanie króla Franków Chlodwiga. Zgodnie ze spisanym za jego czasów przez mnichów „prawem salickim” (na podstawie istniejącego prawa zwyczajowego):

482 — Cesarz Zenon ogłasza list do Kościoła Egiptu zwany Henotikon (Akt Jedności). Dokument uznaje za podstawę wiary jedynie kanony pierwszych trzech soborów i nakłada anatemę na tych, którzy głoszą inne doktryny, w tym chalcedońską. W ten sposób rzymscy katolicy zostają usunięci z Kościoła powszechnego na mocy postanowienia świeckiego władcy. Kościół wschodni przywraca jedność z monofizytami, jednak za cenę zerwania jedności z Rzymem.

484–519 — Schizma akacjańska. Biskup rzymski Feliks III wzywa cesarza Zenona do przyjęcia postanowień soboru w Chalcedonie i okłada ekskomuniką patriarchę Konstantynopola Akacjusza.

489–493 — Władca Ostrogotów Teodoryk Wielki (goc. Þiuda-reiks ‘Król Ludów’) z rodu Amalów, wyznawca arianizmu, z podpuszczenia cesarza Zenona wytacza wojnę Odoakerowi, zakończoną jego podstępnym otruciem w czasie uczty wydanej rzekomo w celu ustalenia podziału władzy w Italii. Zamordowani zostają także żona, syn i zwolennicy Odoakera. Jak widać, ani główny odłam ówczesnego chrześcijaństwa, ani jego odłam antytrynitariański, nie wymagały od swoich wyznawców przestrzegania przykazania Nie zabijaj.

493–526 — Panowanie Teodoryka w Italii. Będąc Gotem i arianinem, ale władając ludźmi wyznającymi wiarę chalcedońską (katolicką), na początku swoich rządów wprowadza zasadę pełnej tolerancji religijnej, co było jaskrawo sprzeczne z panującą ówcześnie tradycją krwawych wojen religijnych. Tolerancja nie podobała się zwłaszcza cesarzowi Justynowi (rządzącemu od 518), i Teodoryk tylko dzięki sprawności swojej policji uniknął śmierci z rąk nasłanych skrytobójców.

500 — Teodoryk podczas wizyty w Rzymie organizuje ostatni starożytny adventus, czyli uroczysty i szczegółowo opracowany ceremoniał rzymski, realizowany z okazji przybycia cesarza do miasta. Taki właśnie „pogański” rodowód ma adwent, dziś będący okresem wyczekiwania na narodziny Zbawiciela.

Wiek VI — lata 501–600

— Aż do VI w. w Hiszpanii synody nie podejmowały sprawy abstynencji seksualnej księży żonatych.

— Małżeństwa zawarte przez duchownych po wyświęceniu uznawane są za nieważne (praktyka poszła inną drogą).

— Za sprawą mnichów irlandzkich spowiedź „na ucho” rozprzestrzenia się po całej Europie. Do tego czasu spowiedź na ogół odbywano publicznie i to bardzo rzadko w ciągu całego życia.

— Początek represji wobec chrześcijan święcących sobotę. Sobota – siódmy dzień tygodnia – jest w Biblii dniem świętym jako pamiątka stworzenia świata (Rdz 2,2–3); nakaz święcenia soboty (szabatu) zawarty jest w Dekalogu (Wj 20,8–11) i przestrzegany przez Jezusa, apostołów i pierwszych chrześcijan.

508 — Zwycięstwo króla Franków Chlodwiga, zwolennika chrześcijaństwa rzymskiego, nad innymi książętami frankijskimi. Kościół rzymski podporządkował sobie prawie całą Europę zachodnią. Od tamtego czasu jest stale uwikłany w politykę. Biblia nakazuje rozdział Kościoła od państwa; związek między Kościołem a władzą świecką nazywa nierządem (Jr 2,20–31; Ez 16,17–19; Oz 2,5) i obrzydliwością (Ap 18,9).

519 — Nowy cesarz Justyn I wycofuje się z postanowień swoich poprzedników Bazyliska, Zenona i Anastazjusza I, i uznaje postanowienia soboru chalcedońskiego, odrzucając monofizytyzm.

Ok. 524–526 — Umiera chrześcijański filozof i teolog Boecjusz (Anicius Severinus Boëthius), tłumacz Arystotelesa. O kobietach pisał: „Kobieta jest świątynią zbudowaną na bagnie”.

527–565 — Czasy panowania Justyniana I Wielkiego (zwanego nawet Pobożnym), który:

527 — Drugi Synod w Toledo. Stwierdzono, że „księża, którzy udzielają noclegu kobietom i doznają przy tym z podniety, muszą zostać ukarani. Kobiety natomiast mają zostać sprzedane przez biskupa jako niewolnice”.

528 — Benedykt z Nursji zakłada we Włoszech pierwszy zakon na Monte Cassino, w miejscu przedchrześcijańskiego sanktuarium.

529 — Pod wpływem ówczesnych chrześcijan pada antyczny uniwersytet ateński z racji propagowania filozofii pogańskiej (po prostu niezgodnej z chrystianizmem).

538 — Cesarz Justynian wywyższył biskupa Rzymu Linusa. Faktyczny początek instytucji papiestwa. Papież jako następca Piotra jest skałą i głową Kościoła; według Biblii Jezus jest skałą i głową Kościoła (1Kor 3,11; 10,4; 1P 2,8).

539 — Ustanowiono władzę papieży oraz ofiarę mszy świętej. Prymat papieży zastąpiono zwierzchnictwem nad całym Kościołem. Zaczęto wpajać przekonanie, iż msza jest „ofiarą”, a Chrystus realnie jest obecny na ołtarzu. Wcześniej chrześcijaństwo nie sprawowało ofiary mszy świętej.

547 — W klasztorze na Monte Cassino umiera Benedykt z Nursji, autor tradycji benedyktyńskiej, eremita, uważany za świętego (także przez kościoły prawosławny, ormiański, anglikański, luterański, starokatolicki) i patrona Europy. Niekiedy uważany za twórcę wczesnej formy modlitwy różańcowej, choć bardziej wiarygodne jest lokowanie tej formy pobożności 500 lat później. Do benedyktyńskiej tradycji należą inne formy chrześcijańskiej mantry, jak wspólne odmawianie 150 psalmów w ciągu tygodnia.

547 — Ustanowienie postu czterdziestodniowego.

550 — Wprowadzono ostatnie namaszczenie chorych.

553 — Za pontyfikatu rzymskiego biskupa Wigiliusza Kościół zaczyna szerzyć sprzeczne z Biblią nauki o czyśćcu, jako trzecim miejscu, gdzie dusze trafiają po śmierci.

553 — Sobór Konstantynopolitański II, piąty sobór powszechny. Potwierdził doktryny i kanony poprzednich soborów. Potępiono na nim Trzy Rozdziały Orygenesa, w tym teorię preegzystencji dusz, oraz papieża Wigiliusza (ale nie Kościół Rzymski). Cesarz nakazał skreślić jego imię z wykazu papieży.

553 — Justynian wydaje zakaz korzystania z Talmudu. W dalszym ciągu nasilała się wyraźnie antysemicka (czy też bardziej antyżydowska) tendencja pośród cesarzy imperium.

567 — Synod w Tours postanawia: „Ponieważ bardzo wielu dziekanów na wsi, jak też diakonów i subdiakonów, jest podejrzanych o niezaprzestanie obcowania z żonami, dziekan winien mieć zawsze koło siebie kleryka, który będzie mu wszędzie towarzyszył i miał z nim łóżko w jednej celi”. „Siedmiu subdiakonów lub też świeckich (!) miało (w cotygodniowym systemie zmianowym) pilnować dziekana. W wypadku odmowy groziła kara chłosty”.

582 — Ustanowienie przez cesarza bizantyjskiego Maurycjusza (Maurycego) święta Wniebowzięcia Najświętszej Maryi dla całego Cesarstwa Rzymskiego. Jest to odtąd święto poddaństwa pod władzę Imperium Romanum i jako takie należy je traktować. W Europie zachodniej święto to zaczęło upowszechniać się począwszy od połowy VIII wieku.

583 — Trzeci synod lyoński groził złożeniem z urzędu (duchownego) „w razie przyjścia na świat dziecka”. Małżeństwo nie groziło w tym wypadku sankcją, jeśli duchowny zawarł je przed święceniami.

585 — Drugi Synod w Maçon, gdzie zastanawiano się nad takim oto dylematem duchowym: „czy zasłużona niewiasta, w trakcie zmartwychwstania ciała nie będzie musiała przeistoczyć się najpierw w mężczyznę, nim wejdzie do raju”. Podczas synodu jeden z biskupów błysnął oświadczeniem, że kobieta nie może być zwana człowiekiem (mulierem hominem non posse vocari). Czasem twierdzi się także, że na tym synodzie biskupi głosowali nad problemem, czy kobiety mają duszę, i ustalili, że jednak mają.

589 — Trzeci Synod w Toledo poleca biskupom, by sprzedawali kobiety podejrzane o spółkowanie z księżmi, a uzyskane ze sprzedaży pieniądze przeznaczali na cele charytatywne (podobny nakaz wydaje Czwarty Synod w Toledo w 633).

590—604 Papież Grzegorz I Wielki. Za jego pontyfikatu przyjęto politykę eksterminacji rodzimych wierzeń, która sprzyjała mieszaniu się różnych elementów i wchłanianiu niektórych zwyczajów i wierzeń „pogańskich” przez Kościół katolicki. Dla skuteczniejszego wytępiania pamięci o dawnych kultach papież ten zalecał budowę kościołów chrześcijańskich w tych samych miejscach co dawne świątynie „pogańskie”, w tym mitraickie.

591 — Grzegorz I zrywa z wcześniejszą tradycją (m.in. Hipolita) uznającą Marię Magdalenę za „Apostołkę Apostołów”. Stwierdza: „Wierzymy, że kobieta, którą Łukasz nazywa grzesznicą a Jan Marią, to ta sama osoba, z której, według Marka, Jezus wypędził złe duchy”. Odtąd Maria Magdalena zostaje w tradycji zachodniej uznana za nawróconą prostytutkę i staje się patronką nawrócenia kobiet lekkiego prowadzenia, typem kobiety porzucającej życie nierządne, symbolem nowej Ewy, kobiety oczyszczonej przez pokutę i żyjącej, dzięki łasce Chrystusa zmartwychwstałego, nowym, świętym życiem.

591 — Grzegorz I potwierdza obowiązujący duchowieństwo zakaz utrzymywania stosunków seksualnych ze swymi żonami.

593 — Grzegorz I wprowadził oficjalnie (jako dogmat) wiarę w czyściec, dla uzdrowienia finansów kurii rzymskiej poprzez sprzedaż odpustów od kar czyśćcowych.

600 — Wprowadzenie „godzinek” do Matki Bożej oraz łaciny do liturgii. Wcześniej nabożeństwa oprawiano często po hebrajsku, aramejsku lub grecku.

Wiek VII — lata 601–700

— Odnośnie mnichów – Jan Klimak: „Mnich powinien być posłusznym, obdarzonym rozumem zwierzęciem”.

— Zaczyna dominować spowiedź indywidualna.

610 — Papież Bonifacy IV otrzymał od cesarza starożytną świątynię pogańską Panteon i kazał złożyć tam liczne relikwie. Budowlę tę poświęcił na kościół pod wezwaniem Matki Bożej Męczenników. Od tego czasu oddawano cześć wszystkim zmarłym męczennikom, w dniu 13 maja.

638 — VI Synod w Toledo nakazuje przymusowe ochrzczenie wszystkich Żydów zamieszkałych w Hiszpanii.

638 — Jerozolima, kolebka chrześcijaństwa, zostaje opanowana przez muzułmanów. „Święty Grób Pański” i inne miejsca ważne dla chrześcijan wpadają w ręce innowierców.

Ok. 650 — Synod w Rouen „(…) za złamanie ślubów czystości orzekał karę odosobnienia i surowej chłosty”. Ilość batów zależna od wagi czynu.

653 — VIII Synod w Toledo „przewidywał nie tylko sprzedaż kobiet podejrzanych lub okrytych niesławą, lecz także legalnych żon, jeśli wyszła na jaw ich „niewstrzemięźliwość”.

655 — IX Synod w Toledo wydaje postanowienie, które było źródłem dopływu niewolników dla Kościoła. Jego kanon 10 stanowił: „Kto tedy, od biskupa po subdiakona, płodzi synów w małżeństwie zasługującym na potępienie, z kobietą wolną lub niewolnicą, ten powinien podlegać karze kanonicznej; dzieci z takiego haniebnego związku nie tylko nie powinny otrzymać spadku po rodzicach, lecz na zawsze, jako niewolnicy, stanowić własność Kościoła, którego kapłanami byli ich ojcowie, gdyż ci spłodzili ich w nagannych okolicznościach”.

662 — Zapoczątkowano kult krzyża, jako narzędzia męki zadanej Chrystusowi. W pierwszych wiekach chrześcijaństwa krzyż nie był wcale symbolem chrześcijaństwa. Jedynym znakiem rozpoznawczym, jakiego używali chrześcijanie pierwszych wieków, była ryba.

675 — Synod w Bradze „(…) zakazał duchownym jakichkolwiek spotkań z kobietami (z wyjątkiem matki) bez towarzystwa godnego zaufania szpicla”.

680–681 — Sobór Konstantynopolitański III, szósty sobór powszechny. Potępił monoteletyzm (pogląd, że Chrystus, zarówno w swojej naturze boskiej, jak i ludzkiej, kierował się jedną wolą). Zaczęto używać krzyża jako godła.

692 — Sobór (Synod) in Trullo (dosł. w sali pod kopułą), który był przedłużeniem poprzedniego. Jest też zwany II Soborem in Trullo (Secundum Concilium in Trullo), gdyż w tej samej sali jedenaście lat wcześniej odbył się Sobór Konstantynopolitański III. Inną jego nazwą jest Sobór Piąto–szósty (łac. Concilium Quinisextum, gr. Penthéktē), ponieważ jego ideą było uzupełnienie kanonami kościelnymi dwóch poprzednich soborów, które nie wydały żadnych spisanych zasad. Zajął się głównie sprawami administracji i dyscypliny kościelnej.

693 — XVI Synod w Toledo proponuje zadośćuczynienie tym, którzy oddawali cześć drzewom, ustroniom leśnym, źródłom i skałom: „jeśli szlachetny urodzony – trzy funty złota, jeśli mizerny – sto uderzeń rózgą”.

694 — XVII Synod w Toledo uznaje wszystkich Żydów za niewolników. Ich kapitały ulegają konfiskacie, zostają im też odebrane dzieci od siódmego roku życia wzwyż celem przymusowej katolicyzacji w rodzinach zastępczych, katolickich. Pretekstem była zaś rzekoma działalność antypaństwowa oraz znieważanie krzyża (dziś za znieważanie krzyża funkcjonują zdecydowanie łagodniejsze kary).

Wiek VIII — lata 701–800

705 — Papież Jan VII odrzucił uchwały Soboru in Trullo, który orzekł, że nad Kościołem powszechnym stoi nie jeden papież, ale dwóch papieży o równych prawach – papież Konstantynopola i Rzymu.

709 — Za pontyfikatu papieża Konstantyna zapoczątkowano upokarzający wiernych i niższy stopniem kler zwyczaj całowania nóg papieskich przez poddanych.

710 — Koniec schizmy zapoczątkowanej na Soborze in Trullo. Podczas spotkania z papieżem Konstantynem cesarz Justynian II zwolnił Kościół Zachodni z obowiązku przestrzegania kanonów soboru.

715 — Wprowadzono i upowszechniono modlitwy do Marii Panny i świętych uznawanych przez Kościół.

721 — Synod rzymski zagroził „klątwą każdemu, kto wejdzie w związek małżeński z osobą, z którą trzymał do chrztu dziecko”. Rodzicom chrzestnym odtąd nie wolno ze sobą wchodzić w związek małżeński, o ile razem trzymali czyjeś dziecko do chrztu.

726 — W Rzymie zaczęto czcić obrazy świętych.

731 — Papież Grzegorz III przeniósł święto męczenników z 13 maja na 1 listopada pod wpływem kultów pogańskich. Oficjalnym, rzekomym powodem były trudności z wyżywieniem rzesz pielgrzymów przybywających do Rzymu na wiosnę.

742–743 — Pierwszy niemiecki sobór narodowy za złamanie ślubów czystości „(…) przez służebnicę Chrystusa nakazywał karę „więzienia o chlebie i wodzie”, a ponadto trzykrotną chłostę i ogolenie głowy” – karę w średniowieczu bardzo poniżającą, stanowiącą ponadto symbol kastracji”.

747 — Papież Zachariasz „wyróżniający się przede wszystkim dobrocią” „(…) kazał wtrącić do więzienia mnichów i mniszki, którzy złamali śluby, dla czynienia tam stałej pokuty aż do śmierci”.

753 — Synod w Metzu. Zdarzało się, iż duchowni hańbili kobiety w świątyniach. Dopuszczali się tego nawet wobec najbliższych krewnych i chyba nierzadko. Dlatego też na synodzie postanowiono: „Jeśli duchowni uprawiają porubstwo z zakonnicami, matkami (!), siostrami itd., to posiadających wyższe święcenia trzeba pozbawiać ich stanowisk, a kapłanów z niższymi święceniami chłostać”. Była to reakcja władzy kościelnej na masową niemoralność kleru, zarówno biskupów jak i zwykłych duchownych.

754 — Umiera benedyktyn Bonifacy Winfrid (ur. między 672 a 675), apostoł Niemców, który twierdził, że „kobietom nie wolno śpiewać w kościele”.

769 — Synod na Lateranie pod przewodnictwem papieża Stefana III ustanowił nowy dekret dotyczący wyboru papieży. Odtąd o prawo wyboru może ubiegać się wyłącznie duchowny. Od elekcji całkowicie odsunięto osoby świeckie, a przede wszystkim oligarchów rzymskich.

783 — Nastał powszechny zwyczaj całowania nóg papieża. W owym czasie papież kąpał się, w tym mył nogi, zwykle nie częściej niż raz w miesiącu.

785 — Synod w Paderborn, podobnie jak synod w Toledo (proponuje zadośćuczynienie tym, którzy oddawali cześć drzewom, ustroniom leśnym, źródłom i skałom): „ukarać szlachetnie urodzonego – sześćdziesięcioma, wolnego – trzydziestoma, niewolnego – piętnastoma solidami. Jeżeli grzywny nie może spłacić, ma służyć Kościołowi do czasu uiszczenia opłaty”.

787 — Sobór Nicejski II, siódmy sobór powszechny, na którym mimo sprzeciwu dwóch poprzednich papieży zatwierdzono niektóre postanowienia Soboru in Trullo, a także ostatecznie usunięto drugie przykazanie biblijnego Dekalogu, potępiając ikonoklazm, dopuszczając kult relikwii, krzyża i obrazów oraz modlitwy do świętych. Zakaz kultu wizerunków to jedno z dziesięciorga przykazań (Wj 20,4–5); Biblia zawiera zakaz zmiany przykazań (Mt 5,18). „Dopóki nie przeminie niebo i ziemia, ani jedna litera, ani jedna kreska nie może być zmieniona w Prawie” (Jezus). „Nawet gdybym ja przyszedł i próbował wprowadzić małą zmianę do tego, co podałem pierwotnie, niechaj będę przeklęty” (Paweł).

800 — Papież Leon III stał się świeckim księciem.

Wiek IX — lata 801–900

801 — Leon III ustanowił Dni Krzyżowe.

813 — Oznajmiono o wzięciu Marii Panny do nieba. Ustanowiono Święto Wniebowzięcia NMP.

816 — „W Niemczech wielki synod w Akwizgranie zezwalał na wyświęcenie żonatych mężczyzn”.

829 — Synod Paryski.

835–837 — Papież Grzegorz IV wprowadza obchody święta ku czci Wszystkich Świętych. Odtąd 1 listopada jest dniem poświęconym pamięci nie tylko męczenników, ale wszystkich świętych Kościoła Katolickiego. Na prośbę cesarza Ludwika Pobożnego rozszerzono to święto na cały Kościół.

850 — Zniszczenie autonomii biskupów (podporządkowanie ich Rzymowi) przez fałszywe dekretalia rzekomego Izydora.

863–867 — Schizma Focjusza. Patriarcha Konstantynopola Focjusz uznał za herezję rozesłał list do pozostałych patriarchów informując o szerzącej się w Kościele zachodnim herezji Filioque (Duch Św. pochodzi od Ojca i Syna, a nie tylko od Ojca) i ekskomunikował papieża Mikołaja. Rzeczywistym powodem tej decyzji była rywalizacja o strefy wpływów wśród chrystianizowanych ludów bałkańskich i wśród Słowian. Na terenach tych swoją misję rozpoczęli bracia Cyryl i Metody, którzy jako uczniowie Focjusza rozpowszechniali ryt bizantyjski adaptując go do lokalnych potrzeb. Za pontyfikatu Mikołaja ich misja była skutecznie blokowana przez duchownych łacińskich.

867 — Nowy cesarz Bazyli I wypędza Focjusza z Konstantynopola.

869–870 — Sobór Konstantynopolitański IV (katolicki), według Kościoła Katolickiego ósmy sobór powszechny, nieuznawany przez prawosławie. Potępiono Focjusza, uznając go za schizmatyka. Potępienie to, odrzucone przez biskupów wschodnich, usankcjonowało podział chrześcijaństwa na katolicyzm i prawosławie.

879–880 — Sobór Konstantynopolitański IV (prawosławny). Zrehabilitował i przywrócił patriarchę Focjusza na zajmowane stanowisko. Początkowo uznany na Zachodzie jako powszechny. Jednak następnie odrzucony, podtrzymano opinię o błędach Focjusza. Sam Focjusz cofnął wydaną wcześniej ekskomunikę na papieża. Stosunki między Rzymem a Bizancjum unormowały się na półtora wieku.

888 — Synod w Moguncji przyznał, że popełniono „bardzo wiele zbrodni”, polegających na tym, że „księża spółkowali z własnymi siostrami i płodzili z nimi dzieci”.

890 — Pierwsze wzmianki o kulcie Józefa, męża Marii i opiekuna Jezusa.

897 — Synod trupi. Papież Stefan VII wykopuje z grobu Formozusa, jednego z ze swoich poprzedników (z którym rywalizował o papiestwo) i urządza mu kilkudniowy proces. Akt oskarżenia zawiera trzy zarzuty: krzywoprzysięstwo, niezdrowe ambicje, naruszenie kanonów. Za karę martwemu papieżowi kat odrąbuje trzy palce, następnie zrzuca trupa z tronu, przebiera w zwyczajne szaty i wlecze ulicami Rzymu, po czym wrzuca do zbiorowego grobu z biedakami. Po kilku dniach papież Stefan dochodzi jednak do wniosku, że to za mało i nakazuje ponowne wydobycie szczątków Formozusa i wrzucenie ich do Tybru. Kilka dni później Stefan umiera „nagłą śmiercią”, a lud Rzymu wydobywa zwłoki Formozusa z rzeki.

Wiek X — lata 901–1000

— Cała Europa znalazła się pod panowaniem papieży.

95 procent ludności nie umiało ani czytać, ani pisać; ludzie żyli w ciemnocie i brudzie; wodę uważano za szkodliwą dla zdrowia, a mycie się za grzech; kwitły przesądy i gusła. Załamuje się aktywność na polu medycyny, techniki, nauki, edukacji, sztuki i handlu. Rozpoczyna się mroczny okres w historii Europy. W tym okresie kraje islamskie rozwijały się prężnie. Kwitł handel, nauka, sztuka, przemysł.

904–964 — W Kościele okres pornokracji, obejmujący pontyfikaty 12 kolejnych papieży.

904 — Papież Sergiusz III morduje swoich poprzedników: Leona V i Krzysztofa, i dzięki protekcji Teodory Starszej obejmuje papiestwo. Sergiusz wkrótce uwiódł córkę swej mecenaski i kochanki, piętnastoletnią piękną Marozję, która dała mu syna, jednego z przyszłych „ojców świętych”, Jana XI.

911 — Papież Sergiusz umiera „nagłą śmiercią”, a jego miejsce zajmują kolejno trzej figuranci z nadania Teodory, a zarazem jej kochankowie: Anastazy III (911–913), Lando (913–914) i Jan X (914–928). Po tym pontyfikacie głównie skrzypce w polityce papieskiej należą już wyłącznie do Marozji – jej matka zmarła.

915 — Umiera kronikarz Regino, opat klasztoru w Prüm, a później w Trewirze, który w ślad za Bonifacym Winfridem, żyjącym 150 lat wcześniej, „(…) zabronił wszystkim kobietom śpiewu w kościele”.

927 — Dalsza rozbudowa kościelnej hierarchii, ustanowienie Kolegium kardynalskiego.

928 — Marozja z pomocą męża Gwidona z Toskanii doprowadza do uwięzienia papieża Jana X w zamku św. Anioła, a następnie do jego uduszenia poduszkami. Następnie Marozja doprowadza do wyboru na papieży kolejno Leona VI (który zostaje następnie uwięziony i otruty z jej polecenia) oraz Stefana VII.

931 — Następcą zmarłego papieża Stefan VII zostaje 21–letni syn Marozji, który przybrał imię Jan XI.

942 — Umiera Odo z Cluny (ur. 878), który głosił:

953–965 — Szanowany (do dzisiaj) książę Kościoła, św. Bruno, arcybiskup Kolonii. Choć uchodził za jednego z najbardziej wykształconych ludzi swojej epoki, (wciąż) nie uznawał kąpieli. Cudowny zatem aromat „czarciej woni” roznosił się od wielu arcybiskupów i ich podwładnych!

955 — Na tron papieski wstępuje osiemnastoletni Oktawian (wnuk Marozji), który przybrał imię Jana XII (zm. 964).

965 — Wprowadzono „chrzest dzwonów”, wymyślony przez biskupa Rzymu Jana XIII.

966 — Wprowadzenie chrześcijaństwa rzymskiego w Polsce.

983 — Biskup Thietmar opisuje pierwsze wielkie powstanie słowiańskich ludów niedawno siłą i terrorem nawróconych na chrześcijaństwo, które miało wybuchnąć na północy Połabia.

988 — Wprowadzono i zaczęto upowszechniać (początkowo wyłącznie w klasztorach benedyktyńskich związanych z „reformą kluniacką”) dzień „zaduszny”, będący dniem modlitw za wszystkich zmarłych. Pomysłodawcą był Odilo, opat klasztoru w Cluny.

988 — Wprowadzono post piątkowy.

993 — Wprowadzono zwyczaj ogłaszania świętych jedynie przez papieży. Wcześniej decydował o tym cały lud chrześcijański. Wiązało się to również i z tym, że dla zmarłego krewnego można było – za odpowiednią kwotę – kupić wyniesienie go na ołtarze. Papież Jan XV zaczyna kanonizować zmarłych – mianuje pierwszych świętych i rozpowszechnia kult matki Jezusa jako Matki Boga. Szczególny to zaszczyt dla paulinów, bowiem napędza im wypłacalną klientelę. Kult świętych to dla Kościoła prawdziwa żyła złota.

997 — W bestialskim tłumieniu kolejnego powstania Słowian przeciwko chrześcijańskiej okupacji wyróżnił się bohaterstwem biskup Ramward.

1000 — Ostateczne ustanowienie przez papieża Sylwestra II odrębnych uroczystości: Wszystkich Świętych i Dzień Zaduszny.

1000 — Ostateczne zatwierdzenie nauki o czyśćcu.

1000 — Chrześcijanie całej Europy oczekiwali w wielkim przerażeniu końca świata. Wierzyli w uwięzienie w roku 317 pradawnego potwora „Lewiatana” w podziemiach Lateranu (ówczesnej siedziby papieży) przez papieża Sylwestra I. Magia okrągłej liczby 1000 kazała spodziewać się nadzwyczajnych zdarzeń. Proroctwa Sybilli zapowiadały, że z przełomem tysiąclecia potwór wydrze się z więzienia i zniszczy ziemię i niebo. Przerażenie wzmagała zbieżność tych wizji z nowotestamentową Apokalipsą św. Jana. Znaku zapowiadającego katastrofę dopatrywano się również w osobie ówczesnego papieża, który uprawiał jakoby praktyki czarnoksięskie (budował zegary i instrumenty astronomiczne), a przy tym przybrał imię Sylwestra II, co budziło skojarzenie „jeden Sylwester uwięził smoka, drugi go wypuści”. Kataklizm miał nastąpić, gdy „Lewiatan” śpiący w rzymskich katakumbach przebudzi się z woli Pana i w ramach kary za grzechy pożre cały świat chrześcijański…

1000 — Powyższe zajście nie miało miejsca, więc szczęśliwy Papież wraz z owieczkami zarządził wielką fetę i czas zabaw i dziękczynienia Panu za dobroć i ratunek dla świata… Tak powstał KARNAWAŁ.

A TAK WYGLĄDAŁ ŚWIAT ZIEMSKI I NADPRZYRODZONY
WEDŁUG KOŚCIELNYCH
NA PRZEŁOMIE PIERWSZEGO I DRUGIEGO TYSIĄCLECIA
NASZEJ ERY

— O francuskich biskupach jeden z historyków tego okresu, pisał:

— O zakonnicach tamtej epoki:

10. Ojciec i syn mają razem 50 lat. Gdyby syn był o 10 lat starszy, to ojciec miałby dwa razy więcej lat niż syn. Ile lat ma obecnie każdy z nich?

[Źródło: http://matematyka.pisz.pl/forum/122028.html]

wiek ojca: `x`

rzeczywisty wiek syna: `50 - x`

hipotetyczny wiek syna: `50 - x + 10`

wiek ojca to 2 razy hipotetyczny wiek syna

`x = 2(50 - x + 10)`

`x = 2(60 - x)`

`x = 120 - 2x`

`3x = 120 |:3`

`x = 40`
¯¯¯¯¯¯

`50 - x = 10`

Odp.: Ojciec ma 40 lat, a syn 10.

Uwaga: hipotetyczna sytuacja, w której syn byłby o 10 lat starszy, nie odnosi się do przyszłości, ale do chwili obecnej, dlatego wiek ojca to wciąż `x`, mimo że wiek syna jest większy o 10 od rzeczywistego.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


11. Ala, Ewa i Ola mają razem 44 lata. Ala jest dwa razy starsza od Ewy, a Ola jest od Ewy o cztery lata młodsza. Ile razem mają lat Ala i Ola?

[Źródło nieznane]

wiek Ewy: `x`

wiek Ali: `2x`

wiek Oli: `x - 4`

`x + 2x + x - 4 = 44`

`4x - 4 = 44 |+4`

`4x = 48 |:4`

`x = 12`
¯¯¯¯¯¯
`2x = 24`

`x - 4 = 8`

Odp.: Ala ma 24 lata, a Ola 8 lat.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


12. Kamil i Ola mają razem 18 lat. Bartek i Ola mają razem 20 lat, a Kamil i Bartek mają razem 16 lat. Ile lat mają Kamil, Ola i Bartek razem? Ile lat ma każde z nich?

[Źródło nieznane]

Sposób 1

W rozwiązaniu użyjemy układu trzech równań z trzema niewiadomymi. Po ułożeniu równań wybieramy jedną z niewiadomych, np. `z`, wyliczamy ją z jednego z równań, czyli przekształcamy go tak, by `z` znajdowało się po lewej stronie przed znakiem równości, i – uwaga! – podstawiamy we wszystkich miejscach w pozostałych równaniach. Pamiętajmy o używaniu nawiasów, jeśli są potrzebne. Równanie z wyliczoną zmienną `z` zaznaczamy gwiazdką (*) i pomijamy w dalszych obliczeniach.

W ten sposób w układzie pozostają tylko dwa równania z dwiema niewiadomymi. W analogiczny sposób rugujemy np. niewiadomą `y`. I dopiero gdy wyliczymy ostatnią niewiadomą, przywracamy do układu równanie oznaczone gwiazdką. W ostatnim zapisie układu muszą znaleźć się wyliczone wszystkie niewiadome. Jest to warunek niezbędny, by uznać rozwiązanie układu równań za poprawne.

Dane:

wiek Kamila: `x`

wiek Oli: `y`

wiek Bartka: `z`

Szukane:

`x + y + z = ?`, `x = ?`, `y = ?`, `z = ?`

Rozwiązanie:

`{(x + y = 18),(z + y = 20),(x + z = 16):}`

`{(x + y = 18),(z = 20 - y **),(x + z = 16):}`

`{(x + y = 18),(x + 20 - y = 16):}`

`{(y = 18 - x **),(x - y = 16 - 20):}`

`x - (18 - x) = -4`

`x - 18 + x = -4`

`2x = -4 + 18`

`2x = 14`

`{(x = 7),(y = 18 - x):}`

`{(x = 7),(y = 18 - 7):}`

`{(x = 7),(y = 11),(z = 20 - y):}`

`{(x = 7),(y = 11),(z = 20 - 11):}`

`{(x = 7),(y = 11),(z = 9):}`

`x + y + z = 7 + 11 + 9 = 27`

Odp.: Dzieci mają razem 27 lat. Kamil ma 7 lat, Ola 11 lat, a Bartek 9 lat.

Sposób 2

Użyjemy tylko jednej niewiadomej i jednego równania. Popatrzmy na dwa pierwsze stwierdzenia w zadaniu – powtarza się w nich wiek Oli. Przyjmijmy go więc za niewiadomą `x`. Potem wyznaczamy kolejno wyrażenia opisujące wiek Kamila i Bartka ze stwierdzeń pierwszego i drugiego. Stwierdzenie trzecie wykorzystamy natomiast do napisania równania.

Analiza zadania:

wiek Oli: `x`

wiek Kamila: `18 - x`

wiek Bartka: `20 - x`

Rozwiązanie:

`(18 - x) + (20 - x) = 16`

`18 - x + 20 - x = 16`

`-2x + 38 = 16`

`-2x = 16 - 38`

`-2x = - 22 |:(-2)`

`x = 11`
¯¯¯¯¯¯¯

wiek Kamila: `18 - x = 18 - 11 = 7`

wiek Bartka: `20 - x = 20 - 11 = 9`

suma wieku dzieci: `11 + 7 + 9 = 27`

Odp.: Dzieci mają razem 27 lat. Kamil ma 7 lat, Ola 11 lat, a Bartek 9 lat.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


13. Andrzej, Grzegorz i Krzysztof mają razem 36 lat. Wiek Grzegorza stanowi 75% wieku Andrzeja, a Krzysztof ma o 6 lat mniej niż Andrzej i Grzegorz razem. Ile lat ma każdy z chłopców?

[Źródło nieznane]

Przedstawimy rozwiązanie przy użyciu jednej niewiadomej. Jest to metoda wygodna, pod warunkiem zrobienia dobrej i szczegółowej analizy zadania. Informacja „wiek Grzegorza stanowi 75% wieku Andrzeja” sugeruje, by przez `x` oznaczyć wiek Andrzeja, który jest tu niezależny. Pamiętajmy, że 75% to inaczej 0,75, a to z kolei możemy łatwo zamienić na ułamek zwykły. Ułamki zwykłe są zwykle wygodniejsze w obliczeniach niż dziesiętne, a już na pewno wygodniejsze niż procenty. Jest tak choćby dlatego, że procentów nie wolno mnożyć przez siebie.

Dobrze jest nauczyć się na pamięć, na jakie ułamki można zamienić pewne określone wartości podane w procentach, a także jakie odpowiedniki dziesiętne mają wybrane ułamki zwykłe. Poza tym trzeba wiedzieć, że wyrażenia typu „75% wieku `x`” wyrażają mnożenie `75% * x`.

Równanie zawierające ułamki można przemnożyć obustronnie przez mianownik nawet jeszcze przed redukcją wyrazów podobnych zawierających ułamki. To bowiem pozwoli uniknąć dodawania ułamków, które może być powodem błędów. Części mnożeń przez liczby całkowite można nie wykonywać, jeśli podejrzewamy, że w dalszym rozwiązaniu będziemy mogli te mnożenia uprościć. Zamiast dzielić od razu przez dużą liczbę, możemy wykonać kilka dzieleń przez mniejsze liczby. Takie rozwiązanie zajmuje więcej miejsca, ale może także uchronić nas przed błędami rachunkowymi, zwłaszcza, gdy nie używamy kalkulatora.

Jeśli dzielimy obie strony równania przez jakąś liczbę, to pamiętajmy, by podzielić przez nią każdy wyraz równania. Wyrazy to fragmenty, które do siebie dodajemy. Jeśli mnożymy dwie liczby przez siebie, tworzą one jeden wyraz. Innymi słowy, jeśli dzielimy obie strony równania, to spośród elementów mnożonych przez siebie wybieramy tylko jeden, i to ten właśnie element dzielimy, podczas gdy inne pozostawiamy bez zmian. Ilustruje to jeden z fragmentów poniższego rozwiązania.

Analiza zadania:

wiek Andrzeja: `x`

wiek Grzegorza: `75% * x = 0,75x = 3/4 x`

łączny wiek Andrzeja i Grzegorza: `x + 3/4 x = 7/4 x`

wiek Krzysztofa: `7/4 x - 6`

Rozwiązanie:

`x + 3/4 x + (7/4 x - 6) = 36`

`x + 3/4 x + 7/4 x - 6 = 36`

`x + 3/4 x + 7/4 x - 6 = 36 |+6`

`x + 3/4 x + 7/4 x = 36 + 6`

`x + 3/4 x + 7/4 x = 42 |*4`

`4x + 3x + 7x = 42*4`

`14x = 42*4 |:2`

`7x = 21*4 |:7`

`x = 3*4`

`x = 12`
¯¯¯¯¯¯¯

wiek Grzegorza: `3/4 x = 3/4 * 12 = 3 * 3 = 9`

wiek Krzysztofa: `7/4 x - 6 = 7/4 * 12 - 6 = 7*3 - 6 = 21 - 6 = 15`

Odp.: Andrzej ma 12 lat, Grzegorz 9, a Krzysztof 15.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


14. Robert i Dorota mają razem 50 lat. Kilka lat temu Robert był dwa razy starszy od Doroty. Gdy upłynie znów tyle samo lat, będzie już tylko starszy o jedną trzecią. Ile lat ma Robert, a ile Dorota?

Zadanie trudno byłoby nam rozwiązać przy pomocy tylko jednej niewiadomej. Możemy ułożyć układ równań z 2 lub 3 niewiadomymi. Wybierzemy tę pierwszą możliwość, co ułatwi obliczenia, ale utrudni nieco analizę treści.

W zadaniu mamy opisane trzy sytuacje: teraźniejszą, przeszłą i przyszłą. Przeszła i przyszła są oddalone o tę samą liczbę lat od teraźniejszej. Niech `w` oznacza tę liczbę lat – będzie to nasza pierwsza niewiadoma.

Wiek Roberta jest uzależniony od wieku Doroty, nie odwrotnie, zatem to wiek Doroty oznaczymy `x`.

Wyrażenie „dwa razy starszy od `x`” jest łatwe do zapisania w języku matematyki: `2x`. Trudniej jest zapisać „starszy o jedną trzecią od `x`”. Zapisanie `x + 1/3` byłoby błędem, bo ułamki i procenty zwykle odnoszą się do czegoś. W istocie bowiem „starszy o jedną trzecią od `x`” znaczy tyle, co „mający `x` lat plus jeszcze `1/3` z `x` lat”. Zatem poprawny zapis to `x + 1/3 x`. Bardzo korzystnie jest uprościć go od razu do postaci `4/3 x`.

Trzeba sobie dobrze zapamiętać ten matematyczny haczyk, bo często pojawia się nie tylko w zadaniach, ale i w życiu codziennym. Jeśli w sklepie A sukienka kosztuje 120 zł, a w sklepie B jest droższa o 1/3, to przecież jej cena w sklepie B nie wynosi `120 1/3` zł (cokolwiek miałoby to oznaczać), ale `120 + 1/3 * 120`, co daje `120 + 40`, czyli ostatecznie `160` zł. Prawda? Tak samo musimy rozumować i w naszym zadaniu!

Jeśli komuś wygodniej, może przedstawić analizę treści w tabelce jak poniżej. Nie jest to oczywiście niezbędne. Równie dobrze można poszczególne wyrażenia objaśnić, wypisując je jedno pod drugim.

W czasie podstawiania nie zapomnijmy o nawiasach i o sprawdzeniu znaków wyrażeń przy ich usuwaniu!

Analiza treści:

 obecnie`w` lat temuza `w` lat
wiek Doroty`x``x - w``x + w`
wiek Roberta`50 - x``50 - x - w``50 - x + w`

starszy o `1/3` oznacza: `a + 1/3 a = 4/3 a`

Rozwiązanie:

`{(50 - x - w = 2(x - w)),(50 - x + w = 4/3 (x + w) |*3):}`

`{(50 - x - w = 2x - 2w),(150 - 3x + 3w = 4x + 4w):}`

`{(- x - 2x - w + 2w = -50),(- 3x - 4x + 3w - 4w = - 150):}`

`{(- 3x + w = -50),(- 7x - w = - 150):}`

`{(w = 3x - 50 **),(- 7x - (3x - 50) = - 150):}`

`- 7x - 3x + 50 = - 150`

`- 7x - 3x = - 150 - 50`

`-10x = - 200 |:(-10)`

`x = 20`
¯¯¯¯¯¯

[Uwaga: obliczenie `w` nie jest konieczne, resztę rozwiązania układu równań można więc pominąć]

`{(x = 20),(w = 3x - 50):}`

`{(x = 20),(w = 60 - 50):}`

`{(x = 20),(w = 10):}`

obecny wiek Doroty: `x = 20`

obecny wiek Roberta: `50 - x = 50 - 20 = 30`

Odp.: Robert ma 30 lat, a Dorota 20 lat.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


15. Gdyby Julka była 3 razy starsza, a Maciek o 2 lata młodszy, to suma ich wieku wynosiłaby 70 lat. Gdyby to Maciek był 3 razy starszy, a Julka o 2 lata młodsza, to suma ich wieku byłaby o 8 lat większa niż w poprzednim przypadku. Ile lat ma Maciek, a ile Julka?

To ciekawe zadanie wydaje się trudne, bo nie ma w nim żadnych informacji o rzeczywistym wieku Maćka i Julki, a mamy ten wiek w jakiś sposób znaleźć. Trudne byłoby też rozwiązanie bez wprowadzenia dwóch niewiadomych. Zebranie wyników analizy zadania najlepiej dokonać w postaci tabelki, by potem na jej podstawie ułożyć układ równań. Wprowadzimy nietypowe oznaczenia niewiadomych; nie jest to zabronione.

Analiza zadania:

rzeczywisty wiek Maćka: `m`

rzeczywisty wiek Julki: `j`

1. sytuacja hipotetyczna2. sytuacja hipotetyczna
wiek Maćka`m - 2``3m`
wiek Julki`3j``j - 2`
suma wieku`70``70 + 8`

Rozwiązanie:

`{(3j + m - 2 = 70),(3m + j - 2 = 70 + 8):}`

`{(3j + m = 70 + 2),(3m + j = 78 + 2):}`

`{(3j + m = 72),(3m + j = 80):}`

`{(m = 72 - 3j **),(3(72 - 3j) + j = 80):}`

`3*72 - 9j + j = 80`

`3*72 - 8j = 80 |:(-8)`

`-3*9 + j = -10 |:8`

`j = -10 + 3*9`

`j = -10 + 27`

`{(j = 17 **),(m = 72 - 3j):}`

`m = 72 - 3*17`

`m = 72 - 51`

`m = 21`

`{(j = 17),(m = 21):}`

Odp.: Maciek ma 21 lat, a Julka 17 lat.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


16. Agata i jej mama mają łącznie 52 lata. 6 lat temu wiek Agaty stanowił 25% wieku jej mamy. Jakim procentem wieku mamy będzie wiek Agaty za dwa lata?

[Źródło: J. Janowicz, Matematyka na czasie! 2. Zbiór zadań, Nowa Era, str. 91, zad. 16]

Analiza zadania:

obecnie6 lat temuza 2 lata
wiek mamy`x``x - 6``x + 2`
wiek Agaty`52 - x``52 - x - 6 = 46 - x``52 - x + 2 = 54 - x`

Rozwiązanie:

`46 - x = 25% * (x - 6)`

`46 - x = 1/4 * (x - 6) |*4`

`184 - 4x = x - 6 |-x`

`184 - 5x = -6 |-184`

`-5x = -190 |:(-5)`

`x = 38`
¯¯¯¯¯¯

wiek mamy za 2 lata: `x + 2 = 38 + 2 = 40`

wiek Agaty za 2 lata: `54 - x = 54 - 38 = 16`

obliczenie procentu: `16/40 = 4/10 = 40/100 = 40%`

Odp. Za dwa lata wiek Agaty będzie stanowił 40% wieku mamy.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


17. Dwie siostry mają razem 27 lat. Różnica wieku między nimi stanowi 20% wieku starszej siostry. Ile lat ma każda siostra?

[Źródło nieznane]

Analiza zadania:

obecnie
wiek starszej siostry`x`
wiek młodszej siostry`27 - x`

Rozwiązanie:

`x - (27 - x) = 20% * x`

`x - 27 + x = 1/5 x`

`2x - 27 = 1/5 x |*5`

`10x - 5 * 27 = x |+5*27 - x`

`9x = 5*27 |:9`

`x = 5*3`

`x = 15`
¯¯¯¯¯¯

wiek młodszej siostry: `27 - x = 27 - 15 = 12`

Odp.: Młodsza siostra ma 12 lat, a starsza 15.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


18. Tata i syn mają razem 36 lat. Za 7 lat tata będzie 4 razy starszy od syna. Ile lat mają obecnie?

[Źródło nieznane]

Sposób 1 (układ równań rozwiązany metodą dodawania stronami)

Analiza treści:

wiek taty: `x`

wiek syna: `y`

wiek taty za 7 lat: `x + 7`

wiek syna za 7 lat: `y + 7`

Rozwiązanie:

`{(x + y = 36),(x + 7 = 4(y + 7)):}`

`{(x + y = 36),(x + 7 = 4y + 28):}`

`{(x + y = 36),(x - 4y = 21 |*(-1)):}`

`+ {(x + y = 36),(-x + 4y = -21):}`
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
`5y = 15`

`y = 3`

`{(x + y = 36),(y = 3):}`

`{(x + 3 = 36),(y = 3):}`

`{(x = 33),(y = 3):}`

Odp.: Tata ma 33 lata, a syn 3 lata.

Sposób 2 (równanie z jedną niewiadomą)

obecnieza 7 lat
tata`36 - x``43 - x`
syn`x``x + 7`

`43 - x = 4(x + 7)`

`43 - x = 4x + 28 |-4x - 43`

`-5x = -15 |:(-5)`

`x = 3`
¯¯¯¯¯

wiek taty: `36 - x = 36 - 3 = 33`

Odp.: Tata ma 33 lata, a syn 3 lata.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


19. Rodzeństwo Jacek, Wacek i Agatka mają razem 30 lat. Jacek jest o 8 lat starszy od Wacka, a wiek Agatki jest średnią arytmetyczną wieku braci. Oblicz, ile lat ma każde z nich.

[Źródło nieznane]

Zadanie rozwiążemy metodą układu równań, przyporządkowując wiekowi każdej z osób jedną niewiadomą. Będziemy więc potrzebować 3 równań. Średnia arytmetyczna dwóch wartości to ich suma podzielona przez 2, podobnie średnia arytmetyczna z większej ilości wartości to ich suma podzielona przez ilość.

Analiza zadania:

wiek Jacka: `x`

wiek Wacka: `y`

wiek Agatki: `z`

Rozwiązanie:

`{(x + y + z = 30),(x = y + 8 **),(z = (x + y)/2 |*2):}`

`{(y + 8 + y + z = 30),(2z = y + 8 + y):}`

`{(2y + 8 + z = 30),(2z = 2y + 8 |:2):}`

`{(2y + z = 30 - 8),(z = y + 4 **):}`

`2y + y + 4 = 22 |-4`

`3y = 18 |:3`

`{(y = 6),(z = y + 4):}`

`{(y = 6),(z = 6 + 4):}`

`{(x = y + 8),(y = 6),(z = 10):}`

`{(x = 6 + 8),(y = 6),(z = 10):}`

`{(x = 14),(y = 6),(z = 10):}`

Odp.: Jacek ma 14 lat, Wacek 6 lat, Agatka 10 lat.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


20. Jacek i Wacek mają razem 32 lata. Za ile lat będą mieli razem 40 lat?

[Źródło nieznane]

Zadanie jest banalne, a mimo to wydaje się nietypowe. Wystarczy jednak zauważyć, że każdej z wymienionych osób przybędzie tyle samo lat. Całkowity przyrost ilości lat trzeba więc podzielić przez liczbę osób.

`40 - 32 = 8`, `8 : 2 = 4`

Odp.: Jacek i Wacek będą razem mieli 40 lat po czterech latach.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie


21. Dziadek i babcia mają razem 147 lat. Dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, kiedy on miał tyle, ile babcia ma teraz. Ile lat ma dziadek, a ile babcia?

[Źródło: Zinaida Krawcewicz, Zadania dla uczniów uzdolnionych matematycznie]

obecniekiedyś
babcia`x``z`
dziadek`147 - x``x`

Różnica wieku dziadka i babci nie zmieniła się, więc `x - z = 147 - x - x`.  Z treści zadania mamy natomiast: `147 - x = 2 z`. Obliczamy:

`{(x - z = 147 - x - x),(147 - x = 2z):}`
`{(3x - z = 147),(x + 2z = 147):}`
`{(6x - 2z = 294),(x + 2z = 147):}`
`7x = 441`
`x = 63`
`147 - x = 84`

Odp.: Babcia ma 63 lata, dziadek 84 lata.

Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie