Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!

Wielokąty, wielościany, wielokomórki
Polygons, polyhedra, polychora

Liczba wierzchołków, krawędzi, ścian i komórek figur foremnych

Schläfli wierzchołki krawędzie ściany komórki
vertices edges faces cells
v e f c e | v v | e f | v f | e v | f e | f c | v c | e c | f v | c e | c f | c
wielokąty – polygons (χ = v − e = 0)
trójkąt równoboczny trigon {3} 3 3 2 2
kwadrat tetragon {4} 4 4 2 2
pięciokąt foremny pentagon {5} 5 5 2 2
sześciokąt foremny hexagon {6} 6 6 2 2
wielokąt foremny n-gon {n} n n 2 2
wielościany – polyhedra (χ = v − e + f = 2)
czworościan foremny tetrahedron {3,3} 4 6 4 3 2 3 2 3 3
sześcian hexahedron {4,3} 8 12 6 3 2 3 2 4 4
ośmiościan foremny octahedron {3,4} 6 12 8 4 2 4 2 3 3
dwunastościan foremny dodecahedron {5,3} 20 30 12 3 2 3 2 5 5
dwudziestościan foremny icosahedron {3,5} 12 30 20 5 2 5 2 3 3
wielokomórki – polychora (χ = v − e + f − c = 0)
pięciokomórka 5-cell {3,3,3} 5 10 10 5 4 2 6 3 3 3 4 3 2 4 6 4
ośmiokomórka 8-cell {4,3,3} 16 32 24 8 4 2 6 3 4 4 4 3 2 8 12 6
szesnastokomórka 16-cell {3,3,4} 8 24 32 16 6 2 12 4 3 3 8 4 2 4 6 4
24-komórka 24-cell {3,4,3} 24 96 96 24 8 2 12 3 3 3 6 3 2 6 12 8
120-komórka 120-cell {5,3,3} 600 1200 720 120 4 2 6 3 5 5 4 3 2 20 30 12
600-komórka 600-cell {3,3,5} 120 720 1200 600 12 2 30 5 3 3 20 5 2 4 6 4

Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanów Platona i Archimedesa

Schläfli liczba
wierzchołków
liczba
krawędzi
łączna liczba
ścian
symetria wzór
wierzchołka
number
of vertices
number
of edges
total number
of faces
symmetry vertex
figure
v e f 3 4 5 6 8 10  
foremne – regular
czworościan foremny tetrahedron {3,3} 4 6 4 4 Td 3.3.3
sześcian hexahedron, cube {4,3} 8 12 6 6 Oh 4.4.4
ośmiościan foremny octahedron {3,4} 6 12 8 8 Oh 3.3.3.3
dwunastościan foremny 12-hedron {5,3} 20 30 12 12 Ih 5.5.5
dwudziestościan foremny 20-hedron {3,5} 12 30 20 20 Ih 3.3.3.3.3
półforemne – semiregular
czworościan ścięty truncated tetrahedron t{3,3} = h2{4,3} 12 18 8 4 4 Td 3.6.6
sześcio-ośmiościan cuboctahedron r{4,3} = rr{3,3} 12 24 14 8 6 Oh 3.4.3.4
sześcian ścięty truncated cube t{4,3} 24 36 14 8 6 Oh 3.8.8
ośmiościan ścięty truncated octahedron t{3,4} = tr{3,3} 24 36 14 6 8 Oh 4.6.6
sześcio-ośmiościan rombowy (mały) (small) rhombicuboctahedron rr{4,3} 24 48 26 8 18 Oh 3.4.4.4
sześcio-ośmiościan rombowy wielki great rhombicuboctahedron,
rhombitruncated cube,
truncated cuboctahedron
tr{4,3} 48 72 26 26 8 6 Oh 4.6.8
sześcian przycięty snub cube sr{4,3} 24 60 38 32 6 O 3.3.3.3.4
dwudziesto-dwunastościan icosidodecahedron r{5,3} 30 60 32 20 12 Ih 3.5.3.5
dwunastościan ścięty truncated dodecahedron t{5,3} 60 90 32 20 12 Ih 3.10.10
dwudziestościan ścięty truncated icosahedron t{3,5} 60 90 32 12 20 Ih 5.6.6
dwudziesto-dwunastościan rombowy (mały) (small) rhombicosidodecahedron rr{5,3} 60 120 62 20 30 12 Ih 3.4.5.4
dwudziesto-dwunastościan rombowy wielki great rhombicosidodecahedron,
rhombitruncated icosahedron,
truncated icosidodecahedron
tr{5,3} 120 180 62 30 20 12 Ih 4.6.10
dwunastościan przycięty snub dodecahedron sr{5,3} 60 150 92 80 12 I 3.3.3.3.5

Wierzchołki, krawędzie i ściany wielościanów Catalana

Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1. The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.

wielościany
Catalana
Catalan
polyhedra
wierzchołki krawędzie ściany symetria wielościan dualny
  typy*   typy długość   typ długość szerokość
vertices edges faces symmetry dual solid
  types*   types length   type length width
czworościan
potrójny
triakis
tetrahedron
8 4[3] + 4[6] 18 12 9/5 = 1.8 12 trójkąty
równoramienne
    Td czworościan
ścięty
6 3 isosceles
triangles
truncated
tetrahedron
dwunastościan
rombowy
rhombic
dodecahedron
14  8[3] + 6[4] 24 24 3√6/8 ≈ 0.918559 12 romby 3/2 = 1.5 3√2/4 ≈ 1.06066 Oh sześcio-ośmiościan
rhombi cuboctahedron
ośmiościan
potrójny
(small) triakis
octahedron
14 8[3] + 6[8] 36 24 2 24 trójkąty
równoramienne
    Oh sześcian ścięty
12 2 + √2 ≈ 3.41421 isosceles
triangles
truncated cube
sześcian
poczwórny
tetrakis
hexahedron
14 6[4] + 8[6] 36 24 9√2/8 ≈ 1.59099 24 trójkąty
równoramienne
    Oh ośmiościan ścięty
12 3√2/2 ≈ 2.12132 isosceles
triangles
truncated octahedron
dwudziesto-
czworościan
deltoidalny
deltoidal
icositetrahedron
26 8[3] + 6[4] + 12[4] 48 24 2√(10 − √2)/7
≈ 0.837186
24 deltoidy
o 3 równych
kątach
2√(31 − 8√2)/7
≈ 1.26769
√2 ≈ 1.41421 Oh sześcio-ośmiościan
rombowy
24 √(2(2 − √2))
≈ 1.08239
tri-equiangular
kites
rhombicuboctahedron
ośmiościan
sześciokrotny
disdyakis
dodecahedron
(hexakis
octahedron)
26 12[4] + 8[6] + 6[8] 72 24 2√(3(10 − √2))/7
≈ 1.45005
48 trójkąty
ostrokątne
    Oh sześcio-ośmiościan
rombowy wielki
24 3√(6(2 + √2))/7
≈ 1.93974
24 2√(6(10 + √2))/7
≈ 2.36445
acute triangles truncated cuboctahedron
dwudziesto-
czworościan
pięciokątny
pentagonal
icositetrahedron
38 32[3] + 6[4] 60 36 p ≈ 0.593465 24 pięciokąty
będące
lustrzanymi
odbiciami
    O sześcian przycięty**
24 q ≈ 0.842509 mirror-symmetric
pentagons
snub cube**
trzydziestościan
rombowy
rhombic
triacontahedron
32 20[3] + 12[5] 60 60 √(10(5 + √5))/8
≈ 1.06331
30 romby (5 + √5)/4 ≈ 1.80902 √5/2 ≈ 1.11803 Ih dwudziesto-dwunastościan
rhombi icosidodecahedron
dwudziestościan
potrójny
triakis
icosahedron
32 20[3] + 12[10] 90 60 5(7 + √5)/22
≈ 2.09911
60 trójkąty
równoramienne
    Ih dwunastościan ścięty
30 (5 + √5)/2 ≈ 3.61803 isosceles
triangles
truncated dodecahedron
dwunastościan
pięciokrotny
pentakis
dodecahedron
32 12[5] + 20[6] 90 60 9(2√5 − 1)/19
≈ 1.64470
60 trójkąty
równoramienne
    Ih dwudziestościan ścięty
30 3(√5 − 1)/2 ≈ 1.85410 isosceles
triangles
truncated icosahedron
sześćdziesięciościan
deltoidalny
deltoidal
hexecontahedron
62 20[3] + 30[4] + 12[5] 120 60 √(5(85 − 31√5))/11
≈ 0.804992
60 deltoidy √(10(157 + 31√5))/33
≈ 1.44160
(5 − √5)/2
≈ 1.38197
Ih dwudziesto-dwunastościan
rombowy
60 √(5(5 − √5))/3
≈ 1.23916
kites rhombicosidodecahedron
dwudziestościan
sześciokrotny
disdyakis
triacontahedron
62 30[4] + 20[6] + 12[10] 180 60 √(15(85 − 31√5))/11
≈ 1.39429
120 trójkąty
ostrokątne
    Ih dwudziesto-dwunastościan
rombowy wielki
60 3√(15(65 + 19√5))/55
≈ 2.19017
60 2√(15(5 − √5))/5
≈ 2.57555
acute triangles truncated
icosidodecahedron
sześćdziesięciościan
pięciokątny
pentagonal
hexecontahedron
92 80[3] + 12[5] 150 90 1/ψ ≈ 0.582900 60 pięciokąty
będące
lustrzanymi
odbiciami
    I dwunastościan przycięty**
60 r ≈ 1.01999 mirror-symmetric
pentagons
snub dodecahedron**

Zapis 30[4] oznacza 30 wierzchołków, w każdym zbiegają się 4 krawędzie – The symbol 30[4] means 30 vertices with 4 edges in each.

** Wielościanem dualnym do formy prawoskrętnej jest forma lewoskrętna i odwrotnie – The dual solid to the dextro solid is the laevo one, and contrary.

Dokładne wartości:

Współrzędne wierzchołków

liczba
wierzchołków
wzór
wierzchołka
współrzędne
number
of vertices
vertex
figure
coordinates
v (I) (II)
a a
wielościany – polyhedra (v − e + f = 2)
foremne – regular
4-ścian 4-hedron 4 3.3.3 (±1, 0, −1/√2), (0, ±1, 1/√2) 2 (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1) 2√2
6-ścian 6-hedron 8 4.4.4 (±1, ±1, ±1) 2
8-ścian 8-hedron 6 3.3.3.3 (±√2, 0, 0), (0, ±√2, 0), (0, 0, ±√2) 2 (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1) √2
12-ścian 12-hedron 20 5.5.5 (±φ, ±φ, ±φ), (0, ±1, ±φ2), (±1, ±φ2, 0), (±φ2, 0, ±1) 2 (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ) 2/φ
20-ścian 20-hedron 12 3.3.3.3.3 (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1) 2
półforemne – semiregular
4-ścian
ścięty
truncated
4-hedron
12 3.6.6 (1/√6, −2√3, ±2), (−3/√6, 0, ±2), (5/√6, −1/√3, ±1),
(1/√6, 4√3, 0), (−3/√6, ±3√3, ±1), (5/√6, 2√3, 0)
2 (+ 3, + 1, + 1), (+ 1, + 3, + 1), (+ 1, + 1, + 3),
(−3,−1, + 1), (−1,−3, + 1), (−1,−1, + 3),
(−3, + 1,−1), (−1, + 3,−1), (−1, + 1,−3),
(+ 3,−1,−1), (+ 1,−3,−1), (+ 1,−1,−3)
√8
6-8-ścian 6-8-hedron 12 3.4.3.4 P(0,±√2,±√2) 2 P(0,±1,±1) √2
6-ścian
ścięty
truncated
6-hedron
24 3.8.8 P(±1, ±(1 + √2), ±(1 + √2)) 2 P(±u, ±1, ±1), u = √2 − 1 2u
8-ścian
ścięty
truncated
8-hedron
24 4.6.6 P(0, ±√2, ±2√2) 2 P(0, ±1, ±2) √2
6-8-ścian
rombowy
mały
rhombi-
6-8-hedron
24 3.4.4.4 P(±(1 + √2), ±1, ±1) 2
6-8-ścian
rombowy
wielki
truncated
6-8-hedron
48 4.6.8 P(±1, ±(1 + √2), ±(1 + 2√2)) 2
6-ścian
przycięty
snub
6-hedron
24 3.3.3.3.4 PxA1, ±A2, ±A3) 2 Px(±1, ±v, ±1/v) w
20-12-ścian 20-12-hedron 30 3.5.3.5 (0,0,±2φ), (0,±2φ,0), (±2φ,0,0), (±1, ±φ, ±(1 + φ)),
(±φ, ±(1 + φ), ±1), (±(1 + φ), ±1, ±φ)
2 (0,0,±φ), (0,±φ,0), (±φ,0,0), (±1/2, ±φ/2, ±(1 + φ)/2),
(±φ/2, ±(1 + φ)/2, ±1/2), (±(1 + φ)/2, ±1/2, ±φ/2)
1
12-ścian
ścięty
truncated
12-hedron
60 3.10.10 (0, ±1, ±(3φ + 1)), (±(3φ + 1), 0, ±1), (±1, ±(3φ + 1), 0),
(±1, ±φ2, ±2φ2), (±2φ2, ±1, ±φ2), (±φ2, ±2φ2, ±1),
(±φ2, ±2φ, ±φ3), (±φ3, ±φ2, ±2φ), (±2φ, ±φ3, ±φ2)
2 (0, ±1/φ, ±(2 + φ)), (±(2 + φ), 0, ±1/φ), (±1/φ, ±(2 + φ), 0),
(±1/φ, ±φ, ±2φ), (±2φ, ±1/φ, ±φ), (±φ, ±2φ, ±1/φ),
(±φ, ±2, ±φ2), (±φ2, ±φ, ±2), (±2, ±φ2, ±φ)
2(φ − 1)
20-ścian
ścięty
truncated
20-hedron
60 5.6.6 (±3φ, 0, ±1), (±(1 + 2φ), ±φ, ±2), (±(2 + φ), ±2φ, ±1),
(±1, ±3φ, 0), (±2, ±(1 + 2φ), ±φ), (±1, ±(2 + φ), ±2φ),
(0, ±1, ±3φ), (±φ, ±2, ±(1 + 2φ)), (±2φ, ±1, ±(2 + φ))
2
20-12-ścian
rombowy
mały
rhomb-
20-12-hedron
60 3.4.5.4 (±1, ±1, ±φ3), (±φ3, ±1, ±1), (±1, ±φ3, ±1),
(±φ2, ±φ, ±2φ), (±2φ, ±φ2, ±φ), (±φ, ±2φ, ±φ2),
(±(2 + φ), 0, ±φ2), (±φ2, ±(2 + φ), 0), (0, ±φ2, ±(2 + φ))
2
20-12-ścian
rombowy
wielki
truncated
20-12-hedron
120 4.6.10 P+(±1, ±1, ±(4φ + 1)),
P+(±2, ±φ2, ±(3φ + 2)),
P+(±1, ±φ3, ±(2φ + 3)),
P+(±(φ + 2), ±2φ, ±(3φ + 1)),
P+(±φ2, ±3φ, ±2φ2)
2 P+(±1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
P+(±2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
P+(±1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
P+(±(−1 + 2φ), ±2, ±(2 + φ)),
P+(±φ, ±3, ±2φ)
2(φ − 1)
12-ścian
przycięty
snub
12-hedron
60 3.3.3.3.5 P*C2, ±C1, ±C14),
P*C3, ±C4, ±C13),
P*C0, ±C8, ±C12),
P*C7, ±C6, ±C11),
P*C9, ±C5, ±C10)
2 P*(±2α, ±2, ±2β),
P*(±(α + β/φ + φ), ±(−αφ + β + 1/φ), ±(α/φ + βφ − 1)),
P*(±(−α/φ + βφ + 1), ±(−α + β/φ − φ), ±(αφ + β − 1/φ)),
P*(±(−α/φ + βφ − 1), ±(α − β/φ − φ), ±(αφ + β + 1/φ)),
P*(±(α + β/φ − φ), ±(αφ − β + 1/φ), ±(α/φ + βφ + 1))
a ≈ 6.0437380841
wielościany Catalana – Catalan polyhedra
czworościan
potrójny
triakis
tetrahedron
8          
dwunastościan
rombowy
rhombic
dodecahedron
14          
ośmiościan
potrójny
(small) triakis
octahedron
14          
sześcian
poczwórny
tetrakis
hexahedron
14          
dwudziesto-
czworościan
deltoidalny
deltoidal
icositetrahedron
26          
ośmiościan
sześciokrotny
disdyakis
dodecahedron
(hexakis
octahedron)
26          
dwudziesto-
czworościan
pięciokątny
pentagonal
icositetrahedron
38          
trzydziestościan
rombowy
rhombic
triacontahedron
32          
dwudziestościan
potrójny
triakis
icosahedron
32          
dwunastościan
pięciokrotny
pentakis
dodecahedron
32          
sześćdziesięciościan
deltoidalny
deltoidal
hexecontahedron
62          
dwudziestościan
sześciokrotny
disdyakis
triacontahedron
62          
sześćdziesięciościan
pięciokątny
pentagonal
hexecontahedron
92          
               
wielokomórki – polychora (v − e + f − c = 0)
5-komórka 5-cell 5
8-komórka 8-cell 16
16-komórka 16-cell 8
24-komórka 24-cell 24
120-komórka 120-cell 600
600-komórka 600-cell 120

Kąty – Angles

Wielościany Catalana: Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1.
Catalan solids: The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.

kąt
dwuścienny
(ś-ś)
w wierzchołku ś-w-k środkowy bryłowy
(naroże)
dihedral
(f-e-f)
vertex f-v-e edge central vertex solid
angle
θ Ω [sr]
wielościany – polyhedra (v − e + f = 2)
foremne – regular
czworościan
foremny
4-hedron arc sin 2√2/3 = 2 arc sin √3/3
= arc cos 1/3 = arc tg 2√2
≈ 70.5288° = 70°31′44″
60° arc sin √(2/3)
= arc cos 1/√3
= arc tg √2
≈ 54.7357° = 54°44′08″
π − 2 arc sin √3/3
= π − arc cos 1/3 = 2 arc tg √2
≈ 109.471° = 109°28′16″
arc cos 23/27
≈ 0.551286
sześcian 6-hedron π/2 = 90° 90° π/2 = 90° arc sin 2√2/3 = 2 arc sin √3/3
= arc cos 1/3 = arc tg 2√2
≈ 70.5288° = 70°31′44″
π/2
ośmiościan
foremny
8-hedron π − 2 arc sin √3/3
= π − arc cos 1/3 = 2 arc tg √2
≈ 109.471° = 109°28′16″
60° - π/2 = 90° 4 arc sin 1/3
= arc cos 17/81
≈ 1.35935
90°
12-ścian
foremny
12-hedron π − arc sin 2/√5 = π − arc cos 1/√5
= π − arc tg 2 = 2 arc tg φ
≈ 116.565° = 116°33′54″
108° π − arc cos (ξ/√5)
≈ 121.717° = 121°43′03″
arc sin 2/3 = arc cos √5/3
≈ 41.8103° = 41°48′37″
π − arc cos (11√5/25)
= π − arc tg 2/11
≈ 2.96174
20-ścian
foremny
20-hedron π − arc sin 2/3 = π − arc cos √5/3
= π − arc tg 2/√5 = 2 arc tg φ2
≈ 138.190° = 138°11′23″
60° arc sin 2/√5
= arc cos 1/√5 = arc tg 2
≈ 63.4350° = 63°26′06″
π − arc cos (95√5/243)
= 2π − 5 arc sin 2/3
≈ 2.63455
108°
półforemne – semiregular
4-ścian
ścięty
truncated
4-hedron
3-6 arc cos (−1/3) ≈ 109°28′16″ 50°28′ arc cos (−1/3)
≈ 1.91063
6-6 arc cos 1/3 ≈ 70°31′44″
6-8-ścian 6-8-hedron 3-4 arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″ 120° 60° arc cos (−7/9)
≈ 2.46192
6-ścian
ścięty
truncated
6-hedron
3-8 arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″ arc cos (−√6/3) ≈ 144°44′08″ 32°39′ arc cos (−2√2/3)
≈ 2.80176
8-8 π/2 = 90°
8-ścian
ścięty
truncated
8-hedron
4-6 arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″ 36°52′ arc cos (−1)
= π ≈ 3.14159
6-6 arc cos (−1/3) ≈ 109°28′16″
6-8-ścian
rombowy
(mały)
rhombi-
6-8-hedron
3-4 arc cos (−√6/3) ≈ 144°44′08″ 41°53′ 2π − arc cos (−2√2/3)
≈ 3.48143
4-4 arc cos (−√2/3) = 135°
6-8-ścian
rombowy
wielki
truncated
6-8-hedron
4-6 arc cos (−√6/3) ≈ 144°44′08″ 24°55′ 2π − arc cos (−√2/2)
= 5π/4 ≈ 3.92699
4-8 arc cos (−√2/3) = 135°
6-8 arc cos (−√3/3) ≈ 125°15′52″
6-ścian
przycięty
snub
6-hedron
3-3 arc cos ((1 − 2τ)/3) ≈ 153°14′04″ arc cos (−t)
≈ 114°48′43″
arc cos (t/(1 − t))
≈ 43°41′27″
3 arc cos (−(1 + 4t)/3)
+ 2 arc cos ((1 − 2√(1 + t))/√3)
− 3π
≈ 3.58963
3-4 arc cos (−√(1 − 2/(3τ))) ≈ 142°59′00″ arc cos ((1 − 2√t)/(√2(1 − √t)))
≈ 126°24′12″
20-12-ścian 20-12-hedron 3-5 arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″ 36° 2π − arc cos ((−3 − 16√5)/45)
≈ 3.67375
12-ścian
ścięty
truncated
12-hedron
3-10 arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″ arc cos (−φ/√3)
≈ 159°05′41″
19°24′ 2π − arc cos (−√5/3)
≈ 3.87132
10-10 arc cos (−1/√5) ≈ 116°33′54″
20-ścian
ścięty
truncated
20-hedron
5-6 arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″ 23°17′ 2π − arc cos (−√5/5)
≈ 4.24874
6-6 arc cos (−√5/3) ≈ 138°11′23″
20-12-ścian
rombowy
(mały)
rhombi-
20-12-hedron
3-4 arc cos (−φ/√3) ≈ 159°05′41″ 25°52′ 2π − arc cos ((5−4√5)/15)
≈ 4.44631
4-5 arc cos (−1/ξ) ≈ 148°16′57″
20-12-ścian
rombowy
wielki
truncated
20-12-hedron
4-6 arc cos (−φ/√3) ≈ 159°05′41″ 15°06′ 2π − arc cos 0 = 1.5π
4-10 arc cos (−1/ξ) ≈ 148°16′57″
6-10 arc cos (−φ/(√3ξ)) ≈ 142°37′21″
12-ścian
przycięty
snub
12-hedron
3-3 arc cos (−(1 + 4s)/3) ≈ 164°10′31″ arc cos (−s)
≈ 118°08′12″
26°49′ 3 arc cos (−(1 + 4s)/3)
+ 2 arc cos p
− 3π
≈ 4.50969
3-5 arc cos p ≈ 152°55′53″ arc cos (−4s/√(10 − 2√5))
≈ 143°20′58″
wielościany Catalana – Catalan polyhedra
czworościan
potrójny
triakis
tetrahedron
arc cos (−7/11) ≈ 129°31′16″            
dwunastościan
rombowy
rhombic
dodecahedron
arc cos (−1/2) = 120°            
ośmiościan
potrójny
(small) triakis
octahedron
arc cos (−(3 + 8√2)/17) ≈ 147°21′00″            
sześcian
poczwórny
tetrakis
hexahedron
arc cos (−4/5) ≈ 143°07′48″            
dwudziesto-
czworościan
deltoidalny
deltoidal
icositetrahedron
arc cos (−(7 + 4√2)/17) ≈ 138°07′05″            
ośmiościan
sześciokrotny
disdyakis
dodecahedron
(hexakis
octahedron)
arc cos (−(71 + 12√2)/97) ≈ 155°04′56″            
dwudziesto-
czworościan
pięciokątny
pentagonal
icositetrahedron
arc cos q ≈ 136°18′33″            
trzydziestościan
rombowy
rhombic
triacontahedron
arc cos (−φ/2) = arc cos (−(1 + √5)/4) = 144°            
dwudziestościan
potrójny
triakis
icosahedron
arc cos (−3(8 + 5√5)/61) ≈ 160°36′45″            
dwunastościan
pięciokrotny
pentakis
dodecahedron
arc cos (−(80 + 9√5)/109) ≈ 156°43′07″            
sześćdziesięciościan
deltoidalny
deltoidal
hexecontahedron
arc cos (−(19 + 8√5)/41) ≈ 154°07′17″            
dwudziestościan
sześciokrotny
disdyakis
triacontahedron
arc cos (−(179 + 24√5)/241) ≈ 164°53′16″            
sześćdziesięciościan
pięciokątny
pentagonal
hexecontahedron
arc cos r ≈ 153°10′43″            

Dokładne wartości kątów:

Kąty skręcenia

Dokładne długości promieni:

Promienie wielościanów regularnych

promień sfery stosunek
wpisanej pośredniej opisanej dopisanej
radius of proportion
in- mid- circum- ex-
-sphere
r ρ R r/ρ r/R ρ/r ρ/R R/r R/ρ
4-ścian 4-hedron 1/√24 = √6/12
≈ 0.204124
1/√8 = √2/4
≈ 0.353553
√6/4
≈ 0.612372
1/√6 = √6/6
≈ 0.408248
1/√3 = √3/3
≈ 0.577350
1/3
= 0.333333
√3
≈ 1.73205
1/√3 = √3/3
≈ 0.577350
3 √3
≈ 1.73205
sześcian 6-hedron 1/2
= 0.5
1/√2 = √2/2
≈ 0.707107
√3/2
≈ 0.866025
1/2
= 0.5
1/√2 = √2/2
≈ 0.707107
1/√3 = √3/3
≈ 0.577350
√2
≈ 1.41421
√(2/3) = √6/3
≈ 0.816497
√3
≈ 1.73205
√(3/2) = √6/2
≈ 1.22474
8-ścian 8-hedron 1/√6 = √6/6
≈ 0.408248
1/2
= 0.5
1/√2 = √2/2
≈ 0.707107
√(2/3) = √6/3
≈ 0.816497
1/√3 = √3/3
≈ 0.577350
√(3/2) = √6/2
≈ 1.22474
1/√2 = √2/2
≈ 0.707107
√3
≈ 1.73205
√2
≈ 1.41421
12-ścian 12-hedron φ2/(2ξ)
= φ2/(2√(3 − φ))
= √(10 + 22/√5)/4
= √((25 + 11√5)/40)
≈ 1.11352
φ2/2
= (3 + √5)/4
≈ 1.30902
(√3/2)φ
= (√3/4)(1 + √5)
≈ 1.40126
1/ξ = √(φ/√5)
= √((1 + φ2)/5)
= √((5 + √5)/10)
≈ 0.850651
φ/(√3ξ)
= √((5 + 2√5)/15)
≈ 0.794654
ξ
= √((5 − √5)/2)
≈ 1.17557
φ/√3
= √((3 + √5)/6)
≈ 0.934172
√3ξ/φ
= √(3(5 − 2√5))
≈ 1.25841
√3/φ
= √(3(3 − √5)/2)
≈ 1.07047
20-ścian 20-hedron φ2/(2√3)
= (√3/12)(3 + √5)
≈ 0.755761
φ/2
= (1 + √5)/4
≈ 0.809017
ξφ/2
= (√(φ√5))/2
= √(1 + φ2)/2
= (√2/4)√(5 + √5)
≈ 0.951057
1/(2√3φ2)
= 1/((3 + √5)√3)
≈ 0.110264
φ/√3
= √((3 + √5)/6)
≈ 0.934172
φ/(√3ξ)
= √((5 + 2√5)/15)
≈ 0.794654
√3/φ
= √(3(3 − √5)/2)
≈ 1.07047
1/ξ
= √(φ/√5)
= √((1 + φ2)/5)
= √((5 + √5)/10)
≈ 0.850651
√3ξ/φ
= √(3(5 − 2√5))
≈ 1.25841
ξ
= √((5 − √5)/2)
≈ 1.17557

Promienie wielościanów Archimedesa

    promień sfery
pośredniej opisanej stycznej ze środkiem ścian
radius of
mid- circum- the sphere tangent
to the face centroid
-sphere
ρ R 3 4 5 6 8 10
4-ścian
ścięty
truncated
4-hedron
3√2/4
≈ 1.06066
√22/4
≈ 1.17260
5√6/12
≈ 1.02062
√6/4
≈ 0.612372
6-8-ścian 6-8-hedron √3/2
≈ 0.866025
1 √6/3
≈ 0.816497
√2/2
≈ 0.707107
6-ścian
ścięty
truncated
6-hedron
1 + √2/2
≈ 1.70711
√(7 + 4√2)/2
≈ 1.77882
(3√3 + 2√6)/6
= √3(3 + 2√2)/6
= √((17 + 12√2)/3)/2
≈ 1.68252
(1 + √2)/2
≈ 1.20711
8-ścian
ścięty
truncated
8-hedron
3/2 = 1.5 √10/2
≈ 1.58114
√2
≈ 1.41421
√6/2
≈ 1.22474
6-8-ścian
rombowy
(mały)
rhombi-
6-8-hedron
√(2(2 + √2))/2
≈ 1.30656
√(5 + 2√2)/2
≈ 1.39897
(3√3 + √6)/6
= √3(3 + √2)/6
= √((11 + 6√2)/3)/2
≈ 1.27427
(1 + √2)/2
≈ 1.20711
6-8-ścian
rombowy
wielki
rhombi-
truncated
6-8-hedron
√(6(2 + √2))/2
≈ 2.26303
√(13 + 6√2)/2
≈ 2.31761
(3 + √2)/2
≈ 2.20711
(√3 + √6)/2
= √3(1 + √2)/2
≈ 2.09077
(1 + 2√2)/2
≈ 1.91421
6-ścian
przycięty
snub
6-hedron
√(1/(4(2 − τ)))
≈ 1.24722
√((3 − τ)/(4(2 − τ)))
≈ 1.34371
√((τ + 1)/(12(2 − τ)))
≈ 1.21336
√((1 − τ)/(4(τ − 2)))
≈ 1.14261
20-12-ścian 20-12-hedron √(5 + 2√5)/2
≈ 1.53884
φ = (√5 + 1)/2
≈ 1.61803
(3√3 + √15)/6
= √3(3 + √5)/6
= √((7 + 3√5)/6)
≈ 1.51152
√(5(5 + 2√5))/5
= √((5 + 2√5)/5)
≈ 1.37638
12-ścian
ścięty
truncated
12-hedron
(5 + 3√5)/4
≈ 2.92705
√(2(37 + 15√5))/4
≈ 2.96945
(9√3 + 5√15)/12
= √3(9 + 5√5)/12
≈ 2.91278
√(2(25 + 11√5))/4
≈ 2.48990
20-ścian
ścięty
truncated
20-hedron
3φ/2
= 3(1 + √5)/4
≈ 2.42705
√(1 + 9φ2)/2
= √(10 + 9φ)/2
= √(2(29 + 9√5))/4
≈ 2.47802
√(10(125 + 41√5))/20
= √((125 + 41√5)/10)/2
≈ 2.32744
(3√3 + √15)/4
= √3(3 + √5)/4
= √(3(7 + 3√5)/2)/2
≈ 2.26728
20-12-ścian
rombowy
(mały)
rhombi-
20-12-hedron
√(2(5 + 2√5))/2
≈ 2.17625
√(11 + 4√5)/2
≈ 2.23295
(3√3 + 2√15)/6
≈ 2.15702
(2 + √5)/2
≈ 2.11803
3√(5(5 + 2√5))/10
≈ 2.06457
20-12-ścian
rombowy
wielki
rhombi-
truncated
20-12-hedron
√(6(5 + 2√5))/2
≈ 3.76938
√(31 + 12√5)/2
≈ 3.80239
(3 + 2√5)/2
≈ 3.73607
(2√3 + √15)/2
= √3(2 + √5)/2
≈ 3.66854
√(5(5 + 2√5))/2
≈ 3.44095
12-ścian
przycięty
snub
12-hedron
φ√(ψ(ψ + φ) + 1)/2
≈ 2.09705
φ√(ψ(ψ + φ) + (3 − φ))/2
≈ 2.15584
ψφ√(3(ψ(ψ + φ) + 1))/6
≈ 2.07709
√(20(5(ψ + 1/ψ)(2φ + 1) + (11φ + 12)))/20
≈ 1.98092

Dokładne długości promieni:

Promienie wielościanów Catalana

Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1.
The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.

wielościany
Catalana
Catalan
polyhedra
promień sfery promień wierzchołkowy
wpisanej pośredniej      
radius of vertex radius
in- mid-      
-sphere      
r ρ   n  
czworościan
potrójny
triakis
tetrahedron
9/(2√22)
= 9√22/44
≈ 0.959403
3√2/4
≈ 1.06066
3 4 9√6/20 ≈ 1.10227
6 4 3√6/4 ≈ 1.83712
dwunastościan
rombowy
rhombic
dodecahedron
3/4
= 0.75
√3/2
≈ 0.866025
3 8 3√6/8 ≈ 0.918559
4 6 3√2/4 ≈ 1.06066
ośmiościan
potrójny
(small) triakis
octahedron
√((23 + 16√2)/17)
= √(17(23 + 16√2))/17
= (5 + 2√2)√(7 + 4√2)/17
≈ 1.63828
1 + √2/2
≈ 1.70711
3 8 √3 ≈ 1.73205
8 6 1 + √2 ≈ 2.41421
sześcian
poczwórny
tetrakis
hexahedron
9/(2√10)
= 9√10/20
≈ 1.42302
3/2 = 1.5 4 6 9√2/8 ≈ 1.59099
6 8 3√6/4 ≈ 1.83711
dwudziesto-
czworościan
deltoidalny
deltoidal
icositetrahedron
√(2(7 + 4√2)/17)
= √(34(7 + 4√2))/17
= (6 + √2)√(5 + 2√2)/17
≈ 1.22026
√(2(2 + √2))/2
≈ 1.30656
3 8 (4√3 + √6)/7 = √3(4 + √2)/7 ≈ 1.33967
4 18 √2 ≈ 1.41421
ośmiościan
sześciokrotny
disdyakis
dodecahedron
(hexakis
octahedron)
3√(2(15 + 8√2)/97)
= √(1746(15 + 8√2))/97
= 3(14 + √2)√(13 + 6√2)/97
≈ 2.20974
√(6(2 + √2))/2
≈ 2.26303
4 12 3(4 + √2)/7 ≈ 2.32038
6 8 √6 ≈ 2.44949
8 6 3(2 + 3√2)/7 ≈ 2.67542
dwudziesto-
czworościan
pięciokątny
pentagonal
icositetrahedron

p ≈ 1.15766
1/(2√(1 − 2t))
= √(1/(8 − 4τ))
≈ 1.24722
3 32 √(2(6 + ∛(6(9 + √(33))) + ∛(6(9−√(33)))))/4 ≈ 1.28204
4 6 √(6(14 + ∛(2(1777 + 33√(33))) + ∛(2(1777−33√(33)))))/12 ≈ 1.36141
trzydziestościan
rombowy
rhombic
triacontahedron
(5 + 3√5)/8
≈ 1.46353
√(5 + 2√5)/2
≈ 1.53884
3 20 (5√3 + √15)/8 = √3(5 + √5)/8 ≈ 1.56665
5 12 √(5(5 + 2√5))/4 ≈ 1.72048
dwudziestościan
potrójny
triakis
icosahedron
5√((41 + 18√5)/61)/2
= 5√(61(41 + 18√5))/122
≈ 2.88526
(5 + 3√5)/4
≈ 2.92705
3 20 5(3√3 + 2√15)/22 = 5√3(3 + 2√5)/22 ≈ 2.94139
10 12 √(5(5 + 2√5))/2 ≈ 3.44095
dwunastościan
pięciokrotny
pentakis
dodecahedron
9√((17 + 6√5)/109)/2
= 9√(109(17 + 6√5))/218
≈ 2.37713
3φ/2
= 3(1 + √5)/4
≈ 2.42705
5 12 9√(65 + 22√5)/38 ≈ 2.53093
6 20 3√3/2 ≈ 2.59808
sześćdziesięciościan
deltoidalny
deltoidal
hexecontahedron
√(205(19 + 8√5))/41
= √(5(19 + 8√5)/41)
= (15 + 2√5)√(11 + 4√5)/41
≈ 2.12099
√(2(5 + 2√5))/2
= √(10 + 4√5)/2
≈ 2.17625
3 20 (5√3 + 4√15)/11 ≈ 2.19565
4 30 √5 ≈ 2.23607
5 12 √(5(5 + 2√5))/3 ≈ 2.29397
dwudziestościan
sześciokrotny
disdyakis
triacontahedron
3√(5(39 + 16√5)/241)
= √(10845(39 + 16√5))/241
≈ 3.73665
√(6(5 + 2√5))/2
≈ 3.76938
4 30 3(5 + 4√5)/11 ≈ 3.80298
6 20 √15 ≈ 3.87298
10 12 3√(5(5 + 2√5))/5 ≈ 4.12915
sześćdziesięciościan
pięciokątny
pentagonal
hexecontahedron
q ≈ 2.03969 φ√(ψ(ψ + φ) + 1)/2
≈ 2.09705
3 80 √(3(xφ + φ + 1 + (1/x)))/2 ≈ 2.11722
5 12 √((x2)(1067φ + 1009) + x(2259φ + 1168) + (941φ + 1097))/62 ≈ 2.22000

Dokładne długości promieni:

Przekątne wielościanów foremnych

przekątna wys. k-k
ściany bryły
face space height e2e
diagonal
1 2 3
n n n
4-ścian 4-hedron √(2/3) = √6/3
≈ 0.816497
1/√2 = √2/2
≈ 0.707107
sześcian 6-hedron √2
≈ 1.41421
√3
≈ 1.73205
4 1 √2
≈ 1.41421
8-ścian 8-hedron √2
≈ 1.41421
3
12-ścian 12-hedron φ
= (1 + √5)/2
≈ 1.61803
√3φ
= (√3/2)(1 + √5)
≈ 2.80252
10 φ2
= (3 + √5)/2
≈ 2.61803
30 √2φ
= (√2/2)(1 + √5)
≈ 2.28825
60
20-ścian 20-hedron √(1 + φ2)
= (√2/2)√(5 + √5)
≈ 1.90211
6 φ
= (1 + √5)/2
≈ 1.61803
30

Powierzchnie i objętości

powierzchnia objętość
ściany całk.
face surface volume
area
a2 a2 a3
wielościany – polyhedra (v − e + f = 2)
foremne – regular
czworościan foremny 4-hedron √3/4 ≈ 0.433013 √3 ≈ 1.73205 √2/12 ≈ 0.117851
sześcian 6-hedron 1 6 1
ośmiościan foremny 8-hedron √3/4 ≈ 0.433013 2√3 ≈ 3.46410 √2/3 ≈ 0.471405
dwunastościan foremny 12-hedron (5φ)/(4ξ) = √(2 + φ)3/4
= √(25 + 10√5)/4 = √(5(5 + 2√5))/4
≈ 1.72048
15φ/ξ = 3√(2 + φ)3
= 3√(25 + 10√5) = 3√(5(5 + 2√5))
≈ 20.6457
(5φ3)/(2ξ2) = (7φ + 4)/2
= (15 + 7√5)/4 ≈ 7.66312
dwudziestościan foremny 20-hedron √3/4 ≈ 0.433013 5√3 ≈ 8.66025 2/6 = 5(3 + √5)/12 ≈ 2.18169
półforemne – semiregular
4-ścian ścięty truncated 4-hedron 7√3 ≈ 12.1244 23√2/12 ≈ 2.71058
6-8-ścian 6-8-hedron 6 + 2√3 = 2(3 + √3) ≈ 9.46410 5√2/3 ≈ 2.35702
6-ścian ścięty truncated 6-hedron 2(6 + 6√2 + √3) ≈ 32.4347 (21 + 14√2)/3 = 7(3 + 2√2)/3 ≈ 13.5997
8-ścian ścięty truncated 8-hedron 6 + 12√3 = 6(1 + 2√3) ≈ 26.7846 8√2 ≈ 11.3137
6-8-ścian rombowy (mały) rhombi-6-8-hedron 18 + 2√3 = 2(9 + √3) ≈ 21.4641 (12 + 10√2)/3 = 2(6 + 5√2)/3 ≈ 8.71405
6-8-ścian rombowy wielki rhombitruncated
6-8-hedron
12(2 + √2 + √3) ≈ 61.7552 22 + 14√2 = 2(11 + 7√2) ≈ 41.7990
6-ścian przycięty snub 6-hedron 2(3 + 4√3) ≈ 19.8564 (3√(2t) + 4√(2 + 2t))/(3√(1 − 2t))
= √((613τ + 203)/(9(35τ − 62))) ≈ 7.88948
20-12-ścian 20-12-hedron 5√3 + 3√(5(5 + 2√5)) ≈ 29.3060 (45 + 17√5)/6 ≈ 13.8355
12-ścian ścięty truncated 12-hedron 5(√3 + 6√(5 + 2√5)) ≈ 100.991 5(99 + 47√5)/12 ≈ 85.0397
20-ścian ścięty truncated 20-hedron 3(10√3 + √(5(5 + 2√5))) ≈ 72.6073 (125 + 43√5)/4 ≈ 55.2877
20-12-ścian rombowy (mały) rhomb-20-12-hedron 30 + 5√3 + 3√(5(5 + 2√5)) ≈ 59.3060 (60 + 29√5)/3 ≈ 41.6153
20-12-ścian rombowy wielki rhombitruncated
20-12-hedron
30(1 + √3 + √(5 + 2√5)) ≈ 174.292 5(19 + 10√5) ≈ 206.803
12-ścian przycięty snub 12-hedron 20√3 + 3√(25 + 10√5) ≈ 55.2867 (12ψ2(3φ + 1) − ψ(36φ + 7) − (53φ + 6))/η ≈ 37.6166

Dokładne wartości objętości:

Wielościany Catalana

Krawędź dualnego wielomianu archimedesowego jest równa 1.
The edge of the dual Archimedean solid is equal to 1.

wielościany
Catalana
Catalan
polyhedra
objętość
czworościan
potrójny
triakis
tetrahedron
81√2/20 ≈ 5.72756
dwunastościan
rombowy
rhombic
dodecahedron
27√2/16 ≈ 2.38649
ośmiościan
potrójny
(small) triakis
octahedron
4(3 + 2√2) ≈ 23.3137
sześcian
poczwórny
tetrakis
hexahedron
81√2/8 ≈ 14.3189
dwudziesto-
czworościan
deltoidalny
deltoidal
icositetrahedron
16(1 + 2√2)/7 ≈ 8.75069
ośmiościan
sześciokrotny
disdyakis
dodecahedron
(hexakis
octahedron)
144(1 + √2)/7 ≈ 49.6638
dwudziesto-
czworościan
pięciokątny
pentagonal
icositetrahedron
√(6(113 + ∛(1327067 + 1419√33) + ∛(1327067−1419√33)))/6 ≈ 7.44740
trzydziestościan
rombowy
rhombic
triacontahedron
25(5 + 2√5)/16 ≈ 14.8002
dwudziestościan
potrójny
triakis
icosahedron
125(19 + 9√5)/44 ≈ 111.149
dwunastościan
pięciokrotny
pentakis
dodecahedron
405(9 + √5)/76 ≈ 59.8764
sześćdziesięciościan
deltoidalny
deltoidal
hexecontahedron
100(5 + 4√5)/33 ≈ 42.2554
dwudziestościan
sześciokrotny
disdyakis
triacontahedron
180(5 + 4√5)/11 ≈ 228.179
sześćdziesięciościan
pięciokątny
pentagonal
hexecontahedron
5√(x(x2(11405φ + 287) + x(14528φ + 8265) + (2363φ + 13146)))/62 ≈ 37.5884

???

wielokomórki – polychora (v − e + f − c = 0)
5-komórka 5-cell
8-komórka 8-cell
16-komórka 16-cell
24-komórka 24-cell
120-komórka 120-cell
600-komórka 600-cell

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych z użyciem φ i ξ

α 15° 18° 22.5° 30° 36° 45° α
0 π/12 π/10 π/8 π/6 π/5 π/4
sin α 0 (√6 − √2)/4 1/(2φ) (√5 − 1)/4 √(2 − √2)/2 1/2 ξ/2 √((5 − √5)/8) 1/√2 cos β
√(10 − 2√5)/4 √2/2
0.258819 0.309017 0.382683 0.5 0.587785 0.707107
cos α 1 (√6 + √2)/4 √5/(2ξ) √((5 + √5)/8) √(2 + √2)/2 √3/2 φ/2 (√5 + 1)/4 1/√2 sin β
√(10 + 2√5)/4 √2/2
0.965926 0.951057 0.923880 0.866025 0.809017 0.707107
tg α 0 2 − √3 ξ/(√5φ) √(1 − 2/√5) √2 − 1 1/√3 ξ/φ √(5 − 2√5) 1 ctg β
(√5ξ)/(5φ) √(25 − 10√5)/5 √3/3
0.267949 0.324920 0.414214 0.577350 0.726543
ctg α | 2 + √3 √5φ/ξ √(5 + 2√5) √2 + 1 √3 φ/ξ √(1 + 2/√5) 1 tg β
√(25 + 10√5)/5
3.73205 3.07768 2.41421 1.73205 1.37638
sec α 1 √6 − √2 2ξ/√5 √(2 − 2/√5) √(2(2 − √2)) 2√3/3 2/φ √5 − 1 √2 csc β
2√5ξ/5 √(50 − 10√5)/5
1.03528 1.05146 1.08239 1.15470 1.23607 1.41421
csc α | √6 + √2 √5 + 1 √(2(2 + √2)) 2 2/ξ √(2 + 2/√5) √2 sec β
√(50 + 10√5)/5
3.86370 3.23607 2.61313 1.70130 1.41421
β 90° 75° 72° 67.5° 60° 54° 45° β
π/2 5π/12 2π/5 3π/8 π/3 3π/10 π/4

Inne kąty

α 11.5370° 14.0362° 14.4775° 18.4349° 19.4712° 20.9052° 23.5782° 26.5651° 30° α
11°32′13″ 14°02′10″ 14°28′39″ 18°26′06″ 19°28′16″ 20°54′19″ 23°34′41″ 26°33′54″
sin α 0 1/5 √17/17 1/4 √10/10 1/3 1/(√3φ) √3(√5 − 1)/6 2/5 √5/5 1/2 cos β
0.2 0.242536 0.25 0.316228 0.333333 0.356822 0.4 0.447214 0.5
cos α 1 2√6/5 4√17/17 √15/4 3√10/10 2√2/3 φ/√3 √3(√5 + 1)/6 √21/5 2√5/5 √3/2 sin β
0.979796 0.970143 0.968246 0.948683 0.942809 0.934172 0.916515 0.894427 0.866025
tg α 0 √6/12 1/4 √15/15 1/3 √2/4 1/φ2 (3 − √5)/2 2√21/21 1/2 √3/3 ctg β
0.204124 0.25 0.258199 0.333333 0.353553 0.381966 0.436436 0.5 0.577350
ctg α | 2√6 4 √15 3 2√2 φ2 (3 + √5)/2 √21/2 2 √3 tg β
4.89898 4 3.87298 3 2.82843 2.61803 2.29129 2 1.73205
sec α 1 5√6/12 √17/4 4√15/15 √10/3 3√2/4 √3/φ √3(√5 − 1)/2 5√21/21 √5/2 2√3/3 csc β
1.02062 1.03078 1.03280 1.05409 1.06066 1.07047 1.09109 1.11803 1.15470
csc α | 5 √17 4 √10 3 √3φ √3(√5 + 1)/2 5/2 √5 2 sec β
5 4.12311 4 3.16228 3 2.80252 2.5 2.23607 2
β 90° 78.4630° 75.9638° 75.5225° 71.5651° 70.5288° 69.0948° 66.4218° 63.4349° 60° β
78°27′47″ 75°57′50″ 75°31′21″ 71°33′54″ 70°31′44″ 69°05′41″ 66°25′19″ 63°26′06″

α 30° 31.7175° 33.6901° 35.2644° 36.8699° 37.3774° 40.8934° 41.4096° 41.8103° 45° α
31°43′03″ 33°69′01″ 35°15′52″ 36°52′12″ 37°22′39″ 40°53′36″ 41°24′35″ 41°48′37″
sin α 1/2 ξ/√5 √((5 − √5)/10) 2√13/13 √3/3 3/5 2/(√3ξφ) √(2(5 − √5)/15) √21/7 √7/4 2/3 √2/2 cos β
0.5 0.525731 0.554700 0.577350 0.6 0.607062 0.654654 0.661438 0.666667 0.707107
cos α √3/2 1/ξ √((5 + √5)/10) 3√13/13 √6/3 4/5 φ/(√3ξ) √((5 + 2√5)/15) 2√7/7 3/4 √5/3 √2/2 sin β
0.866025 0.850651 0.832050 0.816497 0.8 0.794654 0.755929 0.75 0.745356 0.707107
tg α √3/3 1/φ (√5 − 1)/2 2/3 √2/2 3/4 2/φ2 3 − √5 √3/2 √7/3 2√5/5 1 ctg β
0.577350 0.618034 0.666667 0.707107 0.75 0.763932 0.866025 0.881917 0.894427
ctg α √3 φ (√5 + 1)/2 3/2 √2 4/3 φ2/2 (3 + √5)/4 2√3/3 3√7/7 √5/2 1 tg β
1.73205 1.61803 1.5 1.41421 1.33333 1.30902 1.15470 1.13389 1.11803
sec α 2√3/3 ξ √((5 − √5)/2) √13/3 √6/2 5/4 √3ξ/φ √(15 − 6√5) √7/2 4/3 3√5/5 √2 csc β
1.15470 1.17557 1.20185 1.22474 1.25 1.25841 1.32288 1.33333 1.34164 1.41421
csc α 2 √5/ξ √((5 + √5)/2) √13/2 √3 5/3 √3ξφ/2 √(3(5 + √5)/8) √21/3 4√7/7 3/2 √2 sec β
2 1.90211 1.80278 1.73205 1.66667 1.64728 1.52753 1.51186 1.5 1.41421
β 60° 58.2825° 56.3099° 54.7356° 53.1301° 52.6226° 49.1066° 48.5904° 48.1897° 45° β
58°16′57″ 56°18′36″ 54°44′08″ 53°07′48″ 52°37′21″ 49°06′24″ 48°35′25″ 48°11′23″

Zob. także / See also Wielościany Platona / Platonic SolidsWielościany Archimedesa / Archimedean SolidsWielościany Catalana / Catalan Solids

Skróty – Abbreviations

P – permutacje

P+ – permutacje parzyste

P* – permutacje parzyste z parzystą permutacją znaków

Px – parzyste permutacje z parzystą ilością plusów oraz nieparzyste permutacje z nieparzystą ilością plusów

φ = (1 + √5)/2 = 2 cos π/5 ≈ 1.61803

ξ = √((5 − √5)/2) = 2 sin π/5 = √(√5/φ) ≈ 1.17557

ψ = ∛((φ + √(φ − 5/27))/2) + ∛((φ − √(φ − 5/27))/2) ≈ 1.71556

A1 = √((4 − B1 + B2)/3) ≈ 0.675508

A2 = √((2 + B1B2)/3) ≈ 1.24245

A3 = √((4 + B3 + B4)/3) ≈ 2.28523

B1 = ∛(17 + 3√33) ≈ 3.24702

B2 = ∛(−17 + 3√33) ≈ 0.615950

B3 = ∛(199 + 3√33) ≈ 6.00216

B4 = ∛(199 − 3√33) ≈ 5.66462

C0 = φ√(3 − ψ2) ≈ 0.385787

C1 = ψφ√(3 − ψ2) ≈ 0.661842

C2 = φ√((ψ − 1 − 1/ψ)φ) ≈ 0.749643

C3 = ψ2φ√(3 − ψ2) ≈ 1.13543

C4 = ψφ√((ψ − 1 − 1/ψ)φ) ≈ 1.28606

C5 = φ√(1 − ψ + (φ + 1)/ψ) ≈ 1.45667

C6 = φ√(ψ − φ + 1) ≈ 1.69510

C7 = ψ2φ√((ψ − 1 − 1/ψ)φ) ≈ 2.20631

C8 = ψφ√(1 − ψ + (φ + 1)/ψ) ≈ 2.49901

C9 = √((ψ + 2)φ + 2) ≈ 2.83053

C10 = ψ√(ψ(φ + 1) − φ) ≈ 2.90805

C11 = √(ψ2(2φ + 1) − φ) ≈ 3.29384

C12 = φ√(ψ2 + ψ) ≈ 3.49237

C13 = φ2√(ψ(ψ + φ) + 1)/ψ ≈ 3.95568

C14 = φ√(ψ(ψ + φ) + 1) ≈ 4.19411

α = ψ − 1/ψ ≈ 1.13266

β = ψφ + φ2 + φ/ψ ≈ 6.33702

η = 6√(3 − ψ2)3 ≈ 0.0813266

p = ((1 − 2s)√(5 + 2√5) − 2√((1 + s)(5s + (2s − 1)√5)))/√15 ≈ −0.890451

s = (∛(44 + 12φ(9 + √(81φ − 15))) + ∛(44 + 12φ(9 − √(81φ − 15))) − 4)/12 ≈ 0.471576 {rzeczywiste rozwiązanie równiania 8s3 + 8s2 − φ2 = 0}

τ = (∛(19 + 3√33) + ∛(19 − 3√33) + 1)/3 ≈ 1.83929 {stała „Tribonacciego” – the “Tribonacci” constant; rzeczywiste rozwiązanie równań τ3 − τ2 − τ − 1 = 0, (τ + 1)(τ − 1)2 = 2 oraz τ + 1/τ3 = 2}

t = (∛(19 + 3√33) + ∛(19 − 3√33) − 2)/6 = (τ − 1)/2 ≈ 0.419643 {rzeczywiste rozwiązanie równiania 4t3 + 4t2 − 1 = 0}

v = 1/τ = (B1B2 − 1)/3 ≈ 0.543689

w = √(4/3 − 32/(6 ∛2x) + (6 ∛2x)/9) ≈ 1.60972

x = ∛(13 + 3√33) ≈ 3.11528

Skróty:

Linki