This page is hosted for free by cba.pl. Are you the owner of this page? You can remove this message and unlock many additional features by upgrading to PRO or VIP hosting for just 5.83 PLN!
Want to support this website? Click here and add some funds! Your money will then be used to pay for any of our services, including removing this ad.

Wersja z 2019-12-18

Grzegorz Jagodziński

Liczby magiczne

W szkole podstawowej uczymy się tabliczki mnożenia. W dalszej nauce matematyki warto rozszerzyć pamięciową znajomość niektórych innych ciekawych liczb naturalnych. W tym zestawieniu liczby te są nazwane magicznymi. Są to niewielkie potęgi (kwadraty, sześciany, itd.) kolejnych liczb naturalnych większych od `1` (np. `2^2, 3^2, 4^2, ...`), kolejne potęgi niewielkich liczb naturalnych (np. `3^2, 3^3, 3^4, ...`), a także ich silnie. Dodatkowo (w osobnej tabeli) zebrano bisilnie, o których niżej, i iloczyny liczb pierwszych większych od 5. W poniższych zestawieniach podajemy wszystkie takie liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe, i zakończymy na liczbie `2^10 = 1024`.

Silnią liczby `n`, oznaczaną `n!`, nazywamy iloczyn liczb naturalnych od `1` do `n`. Możemy zatem zapisać: `n! = 1 * 2 * 3 * ... * n`. W obliczeniach praktycznych dobrze jest zacząć od największej liczby, co jest bez różnicy, bo mnożenie jest przemienne: `n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1`. A jeśli ktoś nie boi się bardziej zaawansowanych zapisów, może też przyjąć, że `n! = prod_(k = 1)^n k`, gdzie `n ge 1`. Przyjmujemy dodatkowo, że `0! = 1`.

Bisilnią lub silnią podwójną liczby `n`, oznaczaną `n!!`, nazywamy iloczyn liczb naturalnych dodatnich z krokiem `2`: `n!! = n * (n - 2) * (n - 4) * ...`, przy czym ostatnią mnożoną liczbą jest `2` (dla `n` parzystych) lub `1` (dla `n` nieparzystych). Np. `5!! = 5 * 3 * 1 = 15`, `8!! = 8 * 6 * 4 * 2 = 384`.

    `n^2` `n^3` `n^4` `n^5`   `2^n` `3^n` `4^n` `5^n`   `n!`
4   `2^2`         `2^2`          
6                       `3!`
8     `2^3`       `2^3`          
9   `3^2`           `3^2`        
16   `4^2`   `2^4`     `2^4`   `4^2`      
24                       `4!`
25   `5^2`               `5^2`    
27     `3^3`         `3^3`        
32         `2^5`   `2^5`          
36   `6^2`                    
49   `7^2`                    
64   `8^2` `4^3`       `2^6`   `4^3`      
81   `9^2`   `3^4`       `3^4`        
100   `10^2`                    
120                       `5!`
121   `11^2`                    
125     `5^3`             `5^3`    
128             `2^7`          
144   `12^2`                    
169   `13^2`                    
196   `14^2`                    
216     `6^3`                  
225   `15^2`                    
243         `3^5`     `3^5`        
256   `16^2`   `4^4`     `2^8`   `4^4`      
289   `17^2`                    
324   `18^2`                    
343     `7^3`                  
361   `19^2`                    
400   `20^2`                    
441   `21^2`                    
484   `22^2`                    
512     `8^3`       `2^9`          
529   `23^2`                    
576   `24^2`                    
625   `25^2`   `5^4`           `5^4`    
676   `26^2`                    
720                       `6!`
729   `27^2` `9^3`         `3^6`        
784   `28^2`                    
841   `29^2`                    
900   `30^2`                    
961   `31^2`                    
1000     `10^3`                  
1024   `32^2`     `4^5`   `2^10`   `4^5`      

    `n^2` `n^3` `n^4` `n^5`   `2^n` `3^n`   `n!` `n!!`   `7k` `11k` `13k` `17k` `19k` `23k` `29k`
4   `2^2`         `2^2`                        
6                   `3!`                  
8     `2^3`       `2^3`       `4!!`                
9   `3^2`           `3^2`                      
15                     `5!!`                
16   `4^2`   `2^4`     `2^4`                        
21                         `7*3`            
24                   `4!`                  
25   `5^2`                                  
27     `3^3`         `3^3`                      
32         `2^5`   `2^5`                        
33                           `11*3`          
35                         `7*5`            
36   `6^2`                                  
39                             `13*3`        
48                     `6!!`                
49   `7^2`                     `7*7`            
51                               `17*3`      
55                           `11*5`          
57                                 `19*3`    
64   `8^2` `4^3`       `2^6`                        
65                             `13*5`        
69                                   `23*3`  
77                         `7*11` `11*7`          
81   `9^2`   `3^4`       `3^4`                      
85                               `17*5`      
87                                     `29*3`
91                         `7*13`   `13*7`        
95                                 `19*5`    
100   `10^2`                                  
105                     `7!!`                
115                                   `23*5`  
119                         `7*17`     `17*7`      
120                   `5!`                  
121   `11^2`                       `11*11`          
125     `5^3`                                
128             `2^7`                        
133                         `7*19`       `19*7`    
143                           `11*13` `13*11`        
144   `12^2`                                  
145                                     `29*5`
161                         `7*23`         `23*7`  
169   `13^2`                         `13*13`        
187                           `11*17`   `17*11`      
196   `14^2`                                  
203                         `7*29`           `29*7`
209                           `11*19`     `19*11`    
216     `6^3`                                
217                         `7*31`            
221                             `13*17` `17*13`      
225   `15^2`                                  
243         `3^5`     `3^5`                      
247                             `13*19`   `19*13`    
253                           `11*23`       `23*11`  
256   `16^2`   `4^4`     `2^8`                        
259                         `7*37`            
287                         `7*41`            
289   `17^2`                           `17*17`      
299                             `13*23`     `23*13`  
301                         `7*43`            
319                           `11*29`         `29*11`
323                               `17*19` `19*17`    
324   `18^2`                                  
329                         `7*47`            
341                           `11*31`          
343     `7^3`                   `7*7*7`            
361   `19^2`                             `19*19`    
371                         `7*53`            
377                             `13*29`       `29*13`
384                     `8!!`                
391                               `17*23`   `23*17`  
400   `20^2`                                  
403                             `13*31`        
407                           `11*37`          
413                         `7*59`            
427                         `7*61`            
437                                 `19*23` `23*19`  
441   `21^2`                                  
451                           `11*41`          
469                         `7*67`            
473                           `11*43`          
481                             `13*37`        
484   `22^2`                                  
493                               `17*29`     `29*17`
497                         `7*71`            
511                         `7*73`            
512     `8^3`       `2^9`                        
517                           `11*47`          
527                               `17*31`      
529   `23^2`                               `23*23`  
533                             `13*41`        
539                         `7*7*11` `11*7*7`          
551                                 `19*29`   `29*19`
553                         `7*79`            
559                             `13*43`        
576   `24^2`                                  
581                         `7*83`            
583                           `11*53`          
589                                 `19*31`    
611                             `13*47`        
623                         `7*89`            
625   `25^2`   `5^4`                              
629                               `17*37`      
637                         `7*7*13`   `13*7*7`        
649                           `11*59`          
667                                   `23*29` `29*23`
671                           `11*61`          
676   `26^2`                                  
679                         `7*97`            
689                             `13*53`        
697                               `17*41`      
703                                 `19*37`    
707                         `7*101`            
713                                   `23*31`  
720                   `6!`                  
721                         `7*103`            
729   `27^2` `9^3`         `3^6`                      
731                               `17*43`      
737                           `11*67`          
749                         `7*107`            
763                         `7*109`            
767                             `13*59`        
779                                 `19*41`    
781                           `11*71`          
784   `28^2`                                  
791                         `7*113`            
793                             `13*61`        
799                               `17*47`      
803                           `11*73`          
817                                 `19*43`    
841   `29^2`                                 `29*29`
847                         `7*11*11` `11*7*11`          
851                                   `23*37`  
869                           `11*79`          
871                             `13*67`        
889                         `7*127`            
893                                 `19*47`    
899                                     `29*31`
900   `30^2`                                  
901                               `17*53`      
913                           `11*83`          
917                         `7*131`            
923                             `13*71`        
931                         `7*7*19`            
943                                   `23*41`  
945                     `9!!`                
949                             `13*73`        
959                         `7*137`            
961   `31^2`                                  
973                         `7*139`            
979                           `11*89`          
989                                   `23*43`  
1000     `10^3`                                
1001                         `7*11*13` `11*7*13` `13*7*11`        
1003                               `17*59`      
1007                                 `19*53`    
1024   `32^2`     `4^5`   `2^10`