Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!

Wersja z 2013-11-02


Grzegorz Jagodziński

Granice

Pojęcie granicy jest jednym z elementarnych pojęć analizy matematycznej i leży u podstaw działu matematyki zwanej teorią granic. Przez długie lata omawiane było w ramach kursu matematyki w szkole średniej. Szereg lat temu zostało niestety usunięte z programów, nawet na poziomie rozszerzonym. Jedynie najlepsi nauczyciele w najlepszych liceach wciąż wymagają umiejętności liczenia granic, wychodząc tym samym naprzeciw oczekiwaniom nauczycieli akademickich, którzy nie chcą zabierać sobie czasu tłumaczeniem studentom podstaw matematyki i wolą ten czas przeznaczyć na rozważanie problemów związanych z programem studiów.

Taki stan rzeczy powoduje, że studenci są często zupełnie zagubieni, spotykając się z zagadnieniami, które powinni byli opanować w szkole średniej, ale nie opanowali wskutek decyzji władz, którym najwyraźniej zależy na tym, by szkoły wypuszczały niedouczonych maturzystów (bo głupimi ludźmi łatwiej rządzić…). Sami uczniowie na ogół nie tylko cieszą się, że granice, pochodne czy całki zostały usunięte z kursu matematyki szkoły średniej, ale nawet narzekają, jaka to strasznie trudna jest matematyka w liceum czy technikum. Gdyby przyjrzeli się, czego uczyli się ich rodzice, z pewnością zmieniliby zdanie.

Poza tym ta wielka radość z powodu usunięcia „niepotrzebnych” treści z programu szkoły średniej bardzo łatwo może zmienić się w rozpacz, gdy po pomyślnym zakwalifikowaniu się do grona studentów wymarzonej uczelni uradowany (i niedouczony z nie swojej winy) absolwent szkoły średniej staje przed takim oto bolesnym dylematem:

Matematyka to dziedzina wiedzy, której nie da się nauczyć na pamięć z książek. Tak naprawdę w edukacji matematycznej nie chodzi o zdobycie wiedzy, ale o wykształcenie umiejętności rozwiązywania problemów (która bardzo przydaje się później w życiu, i to nawet w sytuacjach zupełnie niemających nic wspólnego z matematyką). Aby opanować na przykład podstawy teorii granic, trzeba więc koniecznie rozwiązywać odpowiednie zadania. Właściwy czas na to byłby w ciągu edukacji szkolnej, a nie na studiach, gdzie trzeba już zająć się masą zupełnie innych problemów. Wszyscy studenci mający problem z granicami powinni więc podziękować bardzo serdecznie resortowi edukacji za to, że odebrał im czas potrzebny na dobre opanowanie koniecznego materiału i że teraz muszą sami jakoś ten czas wygospodarować (albo liczyć na to, że jakoś się uda zaliczyć semestr i zdać egzamin).

Niniejszy artykuł ma za zadanie służyć (darmową) pomocą wszystkim zagubionym w teorii granic. Jego uważna lektura, uzupełniona o samodzielne rozwiązanie zamieszczonych zadań i porównanie własnego rozwiązania z podanym, powinna zdecydowanie ułatwić przygotowanie się do kolokwium czy egzaminu. Wykład tutaj zamieszczony może wydawać się miejscami mało szablonowy, ale dzieje się tak dlatego, że jego zadaniem jest nauczenie trwałego rozumienia omawianych treści, a nie dostarczenie regułek, które łatwo ulatują z pamięci (zwłaszcza wówczas, gdy są najbardziej potrzebne). Poza tym autor artykułu bardzo krytycznie podchodzi do niektórych definicji używanych dziś powszechnie w matematyce i stara się pokazać, że są one kompletnie zdehumanizowane, a przez to niezrozumiałe (a do tego jeszcze niekiedy obarczone błędami logicznymi, niezauważanymi przez matematyków!). Te same pojęcia można i należy przedstawić często w zupełnie inny sposób, a dopiero po ich należytym przyswojeniu można starać się zrozumieć, jak opisują je autorzy wielu podręczników matematyki. Zadaniem wszelkiej nauki (w tym także matematyki) nie jest bowiem niepotrzebne komplikowanie rzeczy prostych, ale objaśnianie rzeczy trudnych. Wydaje się, że niestety matematycy zupełnie o tym zapominają, i tym samym wypychają własną dziedzinę poza obszar zwany nauką.


Spis treści

  1. Podstawowe pojęcia związane z granicami