Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!

Wersja z 2014-06-09


Definicje wybranych pojęć matematycznych

Zestawienie, zbiór, multizbiór

Przegląd matematycznych pojęć zacznijmy od pojęcia zbioru. Pojęcie to jest podstawą teorii mnogości, ale wielu matematyków próbuje włączać je także do innych dziedzin matematyki, czasem dość sztucznie. Na temat tego obiektu krążą dwie przeciwstawne opinie, obie nieprawdziwe. Zgodnie z pierwszą zbiór to pojęcie pierwotne, którego nie można zdefiniować, choć można podać jego właściwości. Zwolennicy drugiej opinii głoszą, że właśnie wyszczególnienie właściwości zbioru oznacza podanie jego definicji – według nich (a wbrew tym pierwszym) zbiór nie byłby więc pojęciem pierwotnym i można przedstawić jego definicję atrybutywną.

Oba te poglądy są sprzeczne zarówno z logiką, jak i ze sposobem postrzegania świata przez człowieka. Prawdziwa pozostaje natomiast definicja, którą większość dzisiejszych snobistycznie nastawionych matematyków uważa za „intuicyjną” lub „naiwną” (prawdopodobnie tylko dlatego, że nie potrafią ją skomplikować, jak to mają w zwyczaju). Jak wspomnieliśmy w innym artykule, już od czasów greckich filozofów bowiem za poprawną uznaje się definicję, w której dane pojęcie: (1) określa się jako odmianę pojęcia nadrzędnego, (2) odróżnia od innych, podobnych pojęć poprzez podanie jego cech gatunkowych. I naprawdę nie trzeba być filozofem, by stwierdzić, że zbiór jest pojęciem w pełni definiowalnym, bo można spełnić oba podane kardynalne warunki tworzenia definicji. A zatem pogląd, że zbiór to pojęcie pierwotne należy między bajki włożyć, tak samo zresztą, jak pogląd, że nie da się zdefiniować zbioru w sensie klasycznym.

Otóż zbiór to rodzaj zestawienia, które to zestawienie o wiele łatwiej można uznać za pojęcie pierwotne, choćby dlatego, że z logicznego punktu widzenia jest pojęciem nadrzędnym względem zbioru. Każde zestawienie (a więc nie tylko zbiór!) obejmuje obiekty zwane elementami oraz relację przynależności tychże obiektów do danego zestawienia. Pojęcia „element” i „przynależność” są również pierwotne – rozumiemy je, ale trudno nam je nawet wytłumaczyć, a co dopiero sformalizować. Zwolennicy traktowania zbiorów jako pojęć pierwotnych również to zresztą przyznają. Więcej na temat zestawień można przeczytać w artykule o kombinatoryce.


Właściwości zbiorów

Zbiory odróżniają się od innych zestawień tym, że mają jeszcze dwie właściwości, których nie muszą mieć inne zestawienia (i właśnie dlatego są rodzajem zestawień, a nie pojęciem pierwotnym!). Mianowicie:

  1. Elementy zbioru muszą być od siebie odróżnialne, tj. zbiory nie posiadają elementów wielokrotnych.
  2. Elementy zbioru nie są w żaden sposób ponumerowane ani w inny sposób uporządkowane, to znaczy ich kolejność jest całkowicie dowolna.

Modelem zbioru może być na przykład pudło z kolorowymi piłeczkami, z których każda jest w innym kolorze lub deseniu tak, że możemy ją odróżnić od innych. Zbiory tworzą też różne liczby, ponieważ także każdą z nich możemy odróżnić od pozostałych. Tradycyjnie wypisujemy elementy takich zbiorów, używając nawiasów klamrowych. Przykładem zbioru liczbowego niech będzie `A = {0, 1, 8, -12, -1/2, sqrt (2)}`.

Ilość elementów zbioru nazywa się mocą zbioru. Oznaczmy ją podwójną kreską nad symbolem zbioru: `dbar(A)`. Dla podanego poprzednio przykładowego zbioru `A` mamy więc `dbar(A) = 6`. Użycie takiego specjalnego terminu jest uzasadnione tym, że często rozpatrujemy zbiory liczbowe o nieskończonej ilości elementów, a jak się okazuje, nie wszystkie zbiory tego typu są równoliczne (to znaczy nieskończoność nieskończoności nierówna). Znanymi przykładami takich zbiorów są:

Więcej o tych zbiorach w innym artykule.

O zbiorach nieskończonych równolicznych ze zbiorem liczb naturalnych mówimy, że są przeliczalne. Przeliczalne są zbiory liczb całkowitych, liczb wymiernych, a także liczb algebraicznych (czyli łącznie liczb wymiernych i takich niewymiernych, które mogą być miejscami zerowymi jakiegoś skończonego wielomianu o współczynnikach wymiernych). Zbiór liczb rzeczywistych jest natomiast nieprzeliczalny (nieprzeliczalny jest też zbiór liczb przestępnych, czyli liczb, które nie mogą być miejscami zerowymi żadnego skończonego wielomianu o współczynnikach wymiernych). Moc zbioru liczb rzeczywistych jest więc inna niż np. zbioru liczb całkowitych. Oprócz zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych istnieją jeszcze zbiory skończone. Zbiór skończony lub przeliczalny to inaczej zbiór co najwyżej przeliczalny.


Zbiory dyskretne i ciągłe

W języku potocznym dyskrecja to umiejętność zachowania informacji dla siebie. W matematyce pojęcie to oznacza całkiem co innego. Zbiór jest dyskretny wówczas, gdy wszystkie jego elementy są izolowane (czyli otoczone „dziurami”). Elementy zbioru dyskretnego można wymienić jeden po drugim. Na osi liczbowej elementy te reprezentują punkty, czasem bardzo gęsto ułożone. Takich punktów może być nawet nieskończenie wiele, a mimo to nie tworzą one odcinka. Zbiory liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych, a także dowolne ich podzbiory, są przykładem zbiorów dyskretnych. Zbiór `D` = `{`3; 3,1; 3,14; `pi`; 3,15`}` jest także dyskretny, mimo że jednym z jego elementów jest liczba niewymierna (a nawet niealgebraiczna, `pi`). Inaczej mówiąc, dyskretne są zbiory skończone i przeliczalne.

Zbiór, który nie jest dyskretny, jest ciągły. Jest to zbiór nieprzeliczalny, a oba pojęcia są synonimiczne, choć używa się ich w odmiennych kontekstach. Zbiór ciągły zawiera przedziały liczbowe (lub sam jest przedziałem liczbowym). Są to szczególne podzbiory, do których należą wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od pewnej wartości lub większe od pewnej wartości. Przedziały mogą być otwarte lub domknięte. Niech `x` oznacza dowolny element przedziału. Wówczas na przykład:

Ciągłymi zbiorami są także sumy przedziałów, np. `B = (text(−)infty; -3) uu (:4; text(+)infty)`. Należą tu liczby mniejsze od −3, liczba 4 oraz liczby od niej większe. Zapisujemy to `x < -3 vv x geq 4`. Zauważmy, że ten sam zbiór możemy też zapisać jako `(text(−)infty; text(+)infty) setminus (:-3; 4)` albo jako `RR setminus (:-3; 4)`. Znak \ oznacza „z wyłączeniem” i jest symbolem różnicy mnogościowej.

Ciągłymi zbiorami są wreszcie sumy przedziałów i zbiorów dyskretnych, np. `C = {0; 1; 2} uu (:3; 4:) uu {5}`. To samo wyraża zapis `x = 0 vv x = 1 vv x = 2 vv 3 leq x leq 4 vv x = 5`.

Wydaje się, że w wypadku zbiorów liczbowych elementy są uporządkowane według ich wartości. Tak jednak nie jest: nawet jeśli zwyczajowo wypiszemy elementy zbioru liczbowego według ich wartości (np. `{0, 1/2, 1, 3/2, 2}`), nie oznacza to jeszcze trwałego uporządkowania. Szczególnie liczby całkowite mogą zostać wypisane od najmniejszej do największej, ale to jeszcze nie oznacza przypisanie im numerów, które wskazywałyby na ich pozycję w zestawieniu. Poza tym są zbiory liczbowe, których nie da się uporządkować liniowo; do takich zbiorów należą zbiór liczb zespolonych oraz zbiór kwaternionów.


Multizbiory

Jeśli dopuścimy, by w zestawieniu znajdowały się elementy powtarzające się (czyli nierozróżnialne), wówczas zestawienie nie jest zbiorem, ale podobnym obiektem, multizbiorem. Przykładem multizbioru może być pudełko zawierające piłki w różnych kolorach, ale takie, że niektórych z nich nie da się odróżnić od innych. Innym przykładem to zbiór monet w portfelu (zakładając, że wśród monet o danym nominale nie da się odróżnić jednej od drugiej). Liczbowym multizbiorem będzie np. `{1, 2, 2, 3, 3, 3}`.


Ciąg

Jeśli elementy danego zestawienia uporządkujemy, czyli w praktyce ponumerujemy, otrzymamy ciąg. Przykładem ciągu może być zestawienie złożone z książek stojących na półce, (ponumerowane) wagony kolejki, albo też liczby uporządkowane tak, że każda zajmuje miejsce o określonym numerze.

Ciąg jest więc obiektem podobnym do zbioru, różniącym się od niego tym, że jego elementy, zwyczajowo zwane wyrazami, zostały ponumerowane. Numer najczęściej określa się literą `n`, zaś wyraz o numerze `n` oznacza się np. Jako `a_n` (można też użyć innej litery, np. `b_n`, `c_n`). Zapis taki odczytujemy jako wyraz ogólny ciągu. Mówimy także, że np. `a_10` to dziesiąty wyraz ciągu `{a_n}`. Najprościej jest przyjąć, że jeden z elementów tego zestawienia nosi numer jeden, inny – numer dwa, jeszcze inny – numer trzy, itd. Do numerowania wyrazów ciągu służą więc liczby naturalne dodatnie. Ciąg złożony z 4 wyrazów możemy zapisać symbolicznie: `{b_n} = {b_1, b_2, b_3, b_4}`. Często wprowadza się też inną konwencję, i pisze: `b_n = (b_1, b_2, b_3, b_4)`. Użycie nawiasów okrągłych oznacza wówczas, że kolejność elementów zestawienia (czyli wyrazów ciągu) jest istotna. Symbole `b_1`, `b_2`, `b_3`, `b_4` mogą oznaczać np. Jakieś liczby, albo też beczki o numerach 1, 2, 3, 4 stojące rzędem w piwnicy.

Uwaga: w ubiegłych dziesięcioleciach podawano (także w podręcznikach szkolnych), że zero nie jest liczbą naturalną. Obecnie jednak przyjmuje się powszechnie, że zero jest liczbą naturalną. Jest to ze wszech miar słuszne, bo „liczba naturalna” to odpowiedź na naturalne pytanie „ile obiektów?”. Można mieć w oborze 3 krowy, można mieć 1 krowę, można też nie mieć wcale krów – czyli mieć 0 krów. Nie jest możliwe posiadanie „minus jednej” krowy, nie da się też posiadać połowy krowy (tak długo, jak mamy na myśli żywe zwierzę, a nie kupę mięsa). Niestety, wielu nauczycieli akademickich jeszcze nie zdołało zauważyć (mimo upływu kilkudziesięciu lat!), że pojęcie liczb naturalnych się zmieniło. Dziś uczeń szkoły średniej może nawet nie zdać egzaminu maturalnego, jeśli nie będzie wiedzieć, że zero jest liczbą naturalną. Tymczasem na studiach może się okazać, że za oczywistą uważa się całkiem inną umowę, może nawet nie zdając sobie sprawy, jak bardzo obca jest ona studentom. A przecież bardzo łatwo byłoby podawać, że numery wyrazów ciągu należą do liczb naturalnych dodatnich: `n in NN^+` (zamiast `n in NN`, jak to zapisywano w starych podręcznikach).

W istocie numerowanie wyrazów ciągu od jednego jest tylko umową, choć zupełnie zgodną z intuicją. Książki stojące na półce też numerujemy „pierwsza, druga, trzecia, …”. W określonych sytuacjach (np. często w informatyce) możliwa jest również jakaś inna umowa, na przykład numerowanie wyrazów ciągu od zera (i wówczas rzeczywiście `n in NN`). Wyrazy ciągu muszą jednak w typowych sytuacjach nosić numer kolejne, to znaczy nie może być tak, by ciąg miał na przykład wyraz `a_5` i `a_7`, ale nie miał wyrazu `a_6`. Mówimy tu o sytuacjach typowych, bo w zasadzie nic nie stoi na przeszkodzie, by wyrazy ciągu numerować w jakiś inny sposób. Zawsze jednak kolejność wyrazów ciągu jest istotna.

Wobec ciągów, w przeciwieństwie do zbiorów, nie stawiamy wymagania, aby żaden element się nie powtarzał. Ciągi {trójkąt, koło, kwadrat} oraz {trójkąt, trójkąt, koło, kwadrat} będą więc różnymi ciągami (wynika to także z faktu, że w obu z nich na przykład numer 2 wskazuje na całkiem inny wyraz – w pierwszym na koło, w drugim na trójkąt).

Podkreślmy tutaj, że numer wyrazu ciągu, zwany też indeksem lub wskaźnikiem wyrazu ciągu, jest zawsze liczbą (przyjmujemy, że naturalną dodatnią). Natomiast wyrazem ciągu może być wszystko, tak samo, jak wszystko może być elementem zbioru, multizbioru czy w ogóle dowolnego zestawienia. Ciąg stanowić będą zatem odpowiednio ułożone książki, beczki, krzesła, litery wyrazu, ludzie stojący w kolejce… W matematyce szczególnie interesujące są jednak ciągi liczbowe, a więc takie, których wyrazamiliczby. Trzeba pamiętać, że na ogół mamy do czynienia z liczbami rzeczywistymi, niekoniecznie naturalnymi. Innymi słowy, w wypadku ciągów liczbowych `n in NN^+` (jak zawsze), ale `a_n in RR`.

Ilość wyrazów ciągu nazywa się jego długością. Ciąg o długości 2 to inaczej para uporządkowana, np. `(0, 1)`. Parę uporządkowaną tworzą na przykład współrzędne kartezjańskie punktu na płaszczyźnie. Piszemy nawet często `P = (0,1)`, co sugeruje w jasny sposób, że punkt o określonych współrzędnych możemy przedstawić jako uporządkowaną parę liczb. Albo mówiąc inaczej: uporządkowaną parę liczb można przestawić w postaci punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej. Jako uporządkowaną parę liczb rzeczywistych można też przedstawić dowolną liczbę zespoloną. Kompletnym nieporozumieniem jest jednak mówienie, że liczba zespolona jest uporządkowaną parą liczb rzeczywistych! Nie tylko w tym wypadku wielu matematyków gubi się i nie potrafi dostrzec różnicy między tożsamością dwóch określeń a sytuacją, w której jedno określenie może być przedstawieniem (reprezentacją) innego.

Ciąg o długości 3 to trójka uporządkowana, np. (1,6; 4,1; −2,3). Taki ciąg można przedstawić w postaci punktu w przestrzeni kartezjańskiej. Zwróćmy uwagę, że wyrazy ciągu podanego tu jako przykład są ułamkami dziesiętnymi w notacji zmiennoprzecinkowej. Ponieważ u nas przyjęło się, by oddzielać część całkowitą od ułamkowej przy pomocy przecinka, wobec tego poszczególne wyrazy ciągu oddzielamy średnikami, a nie przecinkami jak zazwyczaj. Analogicznie określamy czwórkę uporządkowaną (która może odzwierciedlać współrzędne punktu w nadprzestrzeni czterowymiarowej, albo też liczbę zwaną kwaternionem), piątkę uporządkowaną itd.

Istnieją też ciągi o nieskończonej długości. Ponieważ ciągi indeksujemy (na ogół) liczbami naturalnymi dodatnimi, więc wszystkie ciągi nieskończone mają tyle samo elementów (w przeciwieństwie do zbiorów nieskończonych, które mogą mieć różną moc). Ze zbiorów skończonych, a także z niektórych zbiorów nieskończonych (np. ze zbioru liczb naturalnych) możemy utworzyć ciąg.

To samo możemy wyrazić, mówiąc, że wszystkie wyrazy danego ciągu (pozbawione wskaźników) utworzą nam zbiór dyskretny, nigdy zbiór ciągły. Ze zbiorów nieprzeliczalnych (na przykład ze zbioru liczb rzeczywistych) nie jesteśmy w stanie utworzyć ciągu.

O innym rozumieniu ciągu (jako bardzo szczególnej funkcji) będzie mowa nieco dalej.


Macierz

W podręcznikach mówi się często, że macierzą nazywamy prostokątną tablicę liczb. Definicja taka jest uproszczeniem, choć poprawnie określa wypadki typowe. Równie dobrze macierz możemy traktować jako szczególny rodzaj zestawienia (na ogół liczb, choć tak naprawdę warunek ten nie jest wcale konieczny), którego elementy zostały uporządkowane przy pomocy dwóch indeksów. Pierwszy indeks (zwykle zapisywany `i`) oznacza numer wiersza, drugi (`j`) numer kolumny. Indeksami są zwykle kolejne liczby naturalne dodatnie, poczynając od 1. Żądamy przy tym, aby każdy wiersz składał się z takiej samej ilości elementów, i podobnie aby każda kolumna składała się z takiej samej ilości elementów. Element ogólny macierzy ma więc postać `[a_(ij)]`.

Przykładem typowej macierzy liczbowej, rozmiaru 3 × 4, może być:

`A = [a_(ij)] = [(1, 3, -1),(1/2, 5, 11),(2/5,7,0),(0,-sqrt (2), 4)]`

Z podanego zapisu nietrudno odczytać, że np. `a_(12) = 3`, `a_(21) = 1/2`, `a_(42) = -sqrt(2)`.

Tradycyjne użycie nawiasów kwadratowych dla oznaczenia macierzy jest najczęstsze i najwygodniejsze. Ostatnio szerzy się moda, by zamiast nich stosować nawiasy okrągłe. Taka symbolika uzasadniona jest faktem, że zarówno macierze, jak i ciągi, są przecież rodzajami uporządkowanych zestawień.

I rzeczywiście, zarówno ciągi, jak i macierze, to rodzaje tablic, które z kolei są rodzajami zestawień uporządkowanych. Same zaś ciągi możemy uważać za macierze jednowskaźnikowe. Nietrudno także wyobrazić sobie tablice, których elementy oznaczone są nie jednym i nie dwoma, ale trzema wskaźnikami (indeksami) lub większą ich ilością. Tego rodzaju obiekty określane są czasem mianem macierzy wielowskaźnikowych. Znajdują one liczne zastosowania na przykład w programowaniu.

Zauważmy na koniec, że wskaźniki elementów macierzy tworzą ciąg. W wypadku macierzy tradycyjnych jest to ciąg dwuwyrazowy, czyli uporządkowana para liczb. Macierze `n`-wskaźnikowe złożone są z elementów, których indeksy tworzą ciąg o długości `n`.


Wektor

Jak wspomniano, tablice jednowskaźnikowe lub macierze jednowskaźnikowe (jednowymiarowe) to nic innego jak ciągi. Mało to, ten sam rodzaj obiektów matematycznych określany też bywa trzecią nazwę, wektory. Czy taki bałagan terminologiczny należy uznać za niepotrzebny?

Odpowiedź na to pytanie nie jest prosta. Tablice jednowskaźnikowe można bowiem uważać za „zdegenerowane” macierze lub za wycięte z nich fragmenty. Poza tym może się tak zdarzyć (i często tak się właśnie zdarza), że przy badaniu zwykłych, dwuwskaźnikowych (prostokątnych) macierzy mamy do czynienia z macierzami złożonymi tylko z jednego wiersza, ale także z macierzami złożonymi tylko z jednej kolumny. I jedne, i drugie są faktycznie ciągami, ale jakby nieporównywalnymi, bo numerowanymi przy pomocy całkiem innych indeksów. Pojęcia macierzy wierszowej i macierzy kolumnowej są więc węższe od pojęcia ciągu. Poprawniej byłoby mówić, że elementy macierzy wierszowej lub macierzy kolumnowej tworzą ciąg. Co więcej, elementy wiersza zwykłej macierzy również tworzą ciąg, i to samo odnosi się do elementów kolumny zwykłej macierzy.

Pojęcie wektora także nie jest do końca tożsame pojęciu ciągu czy macierzy jednowymiarowej. Co najciekawsze, wektor można wyobrazić sobie w bardzo różny sposób:

W edukacji szkolnej najwcześniej spotykamy się z wektorem jako obiektem geometrycznym podobnym do odcinka, ale mającym wyróżniony początek i koniec, a nie dwa równocenne końce. O ile odcinki `bar(AB)` i `bar(BA)` są dokładnie tym samym, o tyle wektory `vec(AB)` i `vec(BA)` są różne. Możemy powiedzieć, że wektor powstaje z odcinka poprzez wskazanie jednego z końców odcinka jako początku wektora, albo inaczej mówiąc, poprzez uporządkowanie końców odcinka. Przy takim rozumieniu wektora różni się on od odcinka dokładnie tym samym, czym ciąg różni się od zbioru. Ciągi `(a, b)` i `(b, a)` są bowiem różne, podczas gdy zapisy `{a, b}` i `{b, a}` oznaczają ten sam zbiór. Jednak podobnie jak odcinka nie nazwiemy po prostu zbiorem, tak samo i wektora nie nazwiemy po prostu ciągiem (czy też parą uporządkowaną).

Warto zauważyć, że takie „naiwne” rozumienie wektora jako uporządkowanego odcinka jest zupełnie sensowne, jeśli zauważymy, że półprosta to w zasadzie wektor o nieskończonej długości, a więc taki, który ma początek, ale nie ma końca. Wektor (w takim rozumieniu) jest więc pojęciem zbliżonym z jednej strony do odcinka, z drugiej do półprostej. Wszystkie te pojęcia należą do tej samej kategorii pojęciowej. Mało to, należy tu także prosta. Odcinek ma dwa końce, wektor ma początek i koniec, półprosta ma tylko początek, prosta nie ma początku ani końca. Z nieco innego punktu widzenia półprosta to taki wektor, którego koniec znajduje się w nieskończoności, prosta zaś to taki odcinek, którego oba końce znajdują się w nieskończoności. Jeśli tylko jeden z końców odcinka przedłużymy do nieskończoności, automatycznie go wyróżnimy, a wtedy „odcinek” stanie się „wektorem”. Możemy także rozciągnąć do nieskończoności oba końce wektora, przez co otrzymamy prostą skierowaną, określaną zwykle jako oś.

Inne jest rozumienie wektora nie jako skierowanego odcinka, ale jako uporządkowanej pary punktów. Tak rozumiany wektor powstaje z „wektora odcinkowego” poprzez usunięcie wszystkich punktów innych niż początek i koniec. Jest dość zabawne, że matematycy nie widzą żadnej niestosowności w stosowaniu jednego i tego samego terminu dla całkiem odrębnych przecież obiektów. Zgodne z logiką byłoby natomiast powiedzenie, że uporządkowana para punktów wyznacza wektor, albo też że wektor wyznacza uporządkowaną parę punktów (stanowiących jego początek i koniec).

Wektory wyróżniają trzy cechy: kierunek, zwrot i długość. Długość wektora jest taka sama, jak długość odcinka, z którego wektor powstał.

W geometrii kierunek to unikalna własność wszystkich prostych równoległych do siebie. Miarą kierunku w układzie współrzędnych prostokątnych może być kąt nachylenia prostej do osi `x`, albo też lepiej tangens tego kąta. Ta sama nazwa „kierunek” oznacza też zbiór wszystkich prostych wzajemnie równoległych. Po raz kolejny mamy tu klasyczny już chaos nomenklatoryczny… Także o odcinkach mówi się, że mają ten sam kierunek, jeśli są do siebie równoległe. Wektory mają ten sam kierunek, jeśli utworzono je z odcinków równoległych do siebie. Nie ma przy tym znaczenia, który koniec odcinka stał się początkiem wektora. Zwróćmy uwagę, że osoby poruszające się w (potocznie rozumianych) przeciwnych kierunkach po tej samej prostej, w języku terminologii nauk ścisłych poruszają się w tym samym kierunku (a dokładniej, wektory prędkości ich ruchu mają ten sam kierunek).

Zwrot wektora to własność zależna od tego, który koniec odcinka stał się początkiem wektora, a który jego końcem. Wektor można więc rozumieć jako odcinek z ustalonym zwrotem. Najlepiej rozumieć zwrot intuicyjnie: wektory mają ten sam zwrot, jeśli wskazują w tę samą stronę (potocznie mówimy „w tym samym kierunku”, ale w matematyce temu określeniu nadajemy inne znaczenie). Nie ma sensu porównywać zwrotów wektorów o różnych kierunkach. Wszystkie wektory mające ten sam kierunek mogą mieć dokładnie dwa różne zwroty. Jeśli dwa porównywane wektory mają ten sam kierunek i zwrot, nazywamy je równoległymi. Jeśli mają ten sam kierunek, ale różnią się zwrotem, są antyrównoległe.

W języku codziennym „ten sam kierunek” oznacza to samo, co w matematyce „ten sam kierunek i zwrot”. Natomiast potoczne „przeciwny kierunek” oznacza w matematyce „ten sam kierunek i przeciwny zwrot”. Jest to bardzo nieszczęśliwa okoliczność, tym bardziej, że mówiąc, nawet w matematyce, o skierowaniu czegoś, mamy na myśli właśnie zwrot! Podobnie „kierunek obrotu” to pojęcie pokrewne zwrotowi, a nie kierunkowi w sensie matematycznym. Faktycznie więc zamiast „kierunek” powinno się mówić w matematyce „wartość bezwzględna kierunku” lub „moduł kierunku”.

Pojęcie wektora jest do tego na tyle umowne i niedookreślone, że odróżnić można wektory swobodne od zaczepionych. Wektory zaczepione o tym samym kierunku, zwrocie i długości są rozróżnialne (nietożsame), jeśli znajdują się w różnych miejscach płaszczyzny (czy przestrzeni). Na płaszczyźnie kartezjańskiej końce takich wektorów będą mieć różne współrzędne. I tak, jeśli np. weźmiemy punkty na płaszczyźnie `A = (0, -2)` oraz `B = (3, 2)`, wówczas wektor zaczepiony `vec(AB)` będziemy mogli zapisać jako ciąg dwóch par uporządkowanych ((0,-2),(3,2)), albo też jako macierz `((0,-2),(3,2))`. Oczywiście wówczas `vec(BA)` będzie można przedstawić jako ciąg ((3,2),(0,-2)) lub macierz `((3,2),(0,-2))`. Warto jednak postawić sobie pytanie, czy rzeczywiście wektor zaczepiony jest macierzą, czy też raczej czy może zostać przedstawiony jako macierz. I podobnie, należy spytać, czy punkt `A` to uporządkowana para liczb, czy też raczej można go opisać przy pomocy uporządkowanej pary liczb. Znak „=” nie oznacza bowiem tożsamości, ale równość! Dla tożsamości wymyślono symbol „`-=`”. Zatem punkt nie jest tym samym, co para liczb, i podobnie wektor nie jest ciągiem ani macierzą.

Warto zauważyć, że liczbowa reprezentacja wektorów zaczepionych jest możliwa tylko na płaszczyźnie kartezjańskiej, to znaczy wówczas, gdy wybrano układ współrzędnych. W pewnych rozważaniach geometrycznych stykamy się jednak także z wektorami zaczepionymi, których nie da się przedstawić jako ciągów liczbowych. Rozważmy na przykład równoległobok `ABCD`. Jeśli utworzymy wektory `vec(AB)` oraz `vec(DC)`, to będą one miały ten sam kierunek, zwrot i długość, a jednak mimo braku jakichkolwiek współrzędnych będą to dwa osobne wektory zaczepione, choć pozostaną one równe (zatem `vec(AB) = vec(DC)`, ale `vec(AB) !-= vec(DC)`).

Możemy jednak także rozważać obiekty, które różni jedynie kierunek, zwrot i długość, ale nie położenie na płaszczyźnie. Są to właśnie wektory swobodne. Powiedzmy, że dane są 4 punkty na płaszczyźnie kartezjańskiej, o następujących współrzędnych: `A = (0, -2)`, `B = (3, 2)`, `C = (4, 5)`, `D = (1, 1)`. Wektory zaczepione `vec(AB)` i `vec(DC)` są tu oczywiście rozróżnialne, choć mają ten sam kierunek, zwrot i długość. Oba stanowią jednak jedynie dwa różne wystąpienia tego samego wektora swobodnego `vec(a)`.

Wektor swobodny możemy przedstawić także jako uporządkowaną parę liczb, które stanowią różnice odpowiednich współrzędnych końca i początku wektora. Różnice te określa się mianem współrzędnych wektora swobodnego. W naszym przykładzie `vec(a) = [3-0; 2-(-2)] = [4-1; 5-1] = [3; 4]`. Różnica jest taka sama tak w przypadku współrzędnych wektora zaczepionego `vec(AB)`, jak i `vec(DC)`. Właśnie dlatego uporządkowana para liczb (czyli ciąg dwuwyrazowy) można uważać za reprezentację wektora swobodnego. Jednak już utożsamianie dwuwyrazowego ciągu z wektorem swobodnym, a tym bardziej w ogóle z wektorem, musi wzbudzać uzasadnione wątpliwości. Ciąg tworzą bowiem współrzędne wektora, a nie sam wektor.

Tym większy chaos nomenklatoryczny wprowadził zwyczaj określania jednowymiarowych macierzy mianem wektorów. Na przykład macierze `[3 4]` oraz `[(3),(4)]` to całkiem różne obiekty. Jednak różnica między nimi nie obrazuje żadnej różnicy między wektorami rozumianym geometrycznie. Co więcej, wektorów zaczepionych nie da się przedstawić w taki sposób, a przecież to także są wektory. Zatem utożsamianie dwuwyrazowych ciągów z wektorami jest zupełnie nieuzasadnione. Zamiast „wektory wierszowe” i „wektory kolumnowe” powinno się mówić wyłącznie „macierze wierszowe” i „macierze kolumnowe”. Ze współrzędnych jednego i tego samego wektora można zaś, w zależności od potrzeb, utworzyć bądź macierz wierszową, bądź macierz kolumnową.

Warto jeszcze nadmienić, że definicja mówiąca, że wektor (swobodny) to uporządkowana para liczb jest niepoprawna z jeszcze innego powodu. Przecież w trójwymiarowej przestrzeni wektor ma trzy współrzędne, w przestrzeni czterowymiarowej – cztery współrzędne, itd. Współrzędne wektora swobodnego mogą więc tworzyć uporządkowaną trójkę, czwórkę itd. liczb, a niekoniecznie parę.